Tích vô hướng là gì? Công thức, cách bấm máy tính & bài tập ứng dụng

Tích vô hướng, biểu thức tính tích vô hướng là một trong những nội dung khá mới đối với các bạn học sinh lớp 10. Phần kiến thức này còn được nhắc lại trong chương trình Hình Học 12. Do đó, nội dung này rất quan trọng, các bạn cùng VOH Giáo Dục nắm vững những kiến thức trong bài viết dưới đây nha.

1. Tích vô hướng là gì?

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Tích vô hướng của và là một số, ta kí hiệu . .

2. Công thức tích vô hướng của hai vectơ

. = | |.| |.cos( , )

Nếu một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy ước . = 0.

3. Biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai vectơ

Trong mặt phẳng toạ độ (O; ; ), cho hai vectơ = (u1; u2) và = (v1; v2). Biểu thức toạ độ tích vô hướng . là:

. = u1.v1 + u2.v2

Lưu ý: Hai vectơ = (u1; u2) và = (v1; v2) đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi u1.v1 + u2.v2 = 0.

Ví dụ minh hoạ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm D(-2; -4), E(-1; -2), F(-6; -2). Chứng minh rằng ⊥ .

Giải

Ta có: = (1; 2); = (-4; 2).

Áp dụng biểu thức toạ độ tích vô hướng ta có: . = 1.(-4) + 2.2 = 0

Vậy ⊥ (đpcm).

4. Cách bấm máy tính tích vô hướng của hai vectơ

+ Đối với máy tính CASIO fx-580VN X:

→ → → (ta nhập vectơ A)

→ → → → (ta nhập vectơ B) →

→ → (tính toán vectơ) → → (vectơ A)

→ → (xuống) → (tích vô hướng) → → (vectơ B) → .

Ta thu được kết quả trên màn hình máy tính.

+ Đối với máy tính CASIO fx 570VN Plus, CASIO fx 570 Es Plus, VINACAL 570 ES Plus 2

→ → → (ta nhập vectơ A)

→ → → → → (ta nhập vectơ B) →

→ → → (vectơ A)

→ → → (Dot: nghĩa là tích vô hướng) → → → (vectơ B) → .

Ta thu được kết quả trên màn hình.

5. Các dạng bài tập tích vô hướng của hai vectơ

5.1. Dạng toán 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1: Cho tam giác đều DEF có cạnh bằng 2a. Tính tích vô hướng .

A. . = 2a2

B. . = 2a2

C. . = -2a2

D. . = -2a2

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta xác định góc tạo bởi hai vectơ DE và DF

+ Bước 2: Ta áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: . = | |.| |.cos( , )

Giải

Ta có (,) = = 60o ( tam giác DEF đều)

Từ đó . = ||.||.cos(,) = 2a.2a.cos60o = 2a2.

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho tam giác đều DEF có cạnh bằng 2a. Tính tích vô hướng .

A. . = -2a2

B. . = -2a2

C. . = 2a2

D. . = 2a2

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta xác định góc tạo bởi hai vectơ DE và EF

+ Bước 2: Ta áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: . = | |.| |.cos( , )

Giải

Ta có (,) là góc ngoài của góc DEF nên (,) = 180o - 60o = 120o

Từ đó . = ||.||.cos(,) = 2a.2a.cos120o = -2a2.

Chọn đáp án B.

Câu 3: Cho tam giác đều DEF có cạnh bằng 2a, gọi G là trọng tâm tam giác đó. Mệnh đề sau đây là mệnh đề sai?

A. . = 2a2

B. = -2a2

C. = a2

D. = a2

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta xác định góc tạo bởi hai vectơ

+ Bước 2: Ta áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: . = | |.| |.cos( , )

Giải

- Xét đáp án A:

Ta có (,) = = 60o ( tam giác DEF đều)

Từ đó . = ||.||.cos(,) = 2a.2a.cos60o = 2a2 → A đúng.

- Xét đáp án B:

Ta có () là góc ngoài của góc DFE nên () = 180o - 60o = 120o

Từ đó = ||.||.cos120o = 2a.2a.cos120o = -2a2 → B đúng.

- Xét đáp án C:

Ta có () = = 120o

Xét tam giác DEF có DG = EG = FG = =

Từ đó = ||.||.cos120o = . .cos120o = a2 → C sai.

- Xét đáp án D:

Ta có () = = . = 30o

Từ đó = ||.||.cos30o = 2a. .cos30o = a2 → D đúng.

Chọn đáp án C.

5.2. Dạng toán 2: Chứng minh hai vectơ vuông góc dựa vào tính tích vô hướng của hai vectơ

* Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai vectơ . = u1.v1 + u2.v2 = 0 ⇔ ⊥

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho D(-2; 3), E(0; 1), F(1; 2). Chứng minh ⊥ .

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta áp dụng công thức tính vectơ ở bài trước để tìm toạ độ hai vectơ và .

+ Bước 2: Ta áp dụng biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai vectơ . = u1.v1 + u2.v2.

+ Bước 3: Kết luận.

Giải

Ta có = (2; -2), = (1; 1)

. = 2.1 + (-2).1 = 0

suy ra ⊥ (đpcm).

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho D(m-2; 5), E(3; -2), F(5; 1). Giá trị m bằng bao nhiêu để ⊥ .

A. m = -2

B. m = 2

C. m =

D. m =

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Ta áp dụng công thức tính vectơ ở bài trước để tìm toạ độ hai vectơ và .

+ Bước 2: Ta áp dụng biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai vectơ vuông góc . = u1.v1 + u2.v2 = 0. Từ đó, suy ra m

+ Bước 3: Kết luận.

Giải

Ta có = (5-m; -7), = (2; 3)

⊥ khi và chỉ khi . = 0 ⇔ (5-m).2 + (-7).3 = 0

⇔ -2m - 11 = 0

⇔ m =

Vậy m = thì ⊥

Chọn đáp án D.

5.3. Dạng toán 3: Tính góc giữa hai vectơ suy ra từ công thức tính tích vô hướng của hai vectơ

Câu 6: Cho hình bình hành MNPQ có MN = 6 cm, MQ = 9 cm, góc nhọn và diện tích bằng 36 cm2. Tính cos(,)

A. cos =

B. cos =

C. cos =

D. cos =

Ta có SMNPQ = 2. SΔMNP = 36 cm2

⇔ SΔMNP = 18 cm2

Diện tích tam giác MNP là

SΔMNP = MN.NP.sin

= MN.MQ.sin

⇒ sin = = =

⇒ cos = = (vì nhọn)

Chọn đáp án A.

Bài viết trên là toàn bộ nội dung về tích vô hướng, ngoài ra có các bài tập đa dạng và có những lời giải chi tiết, cụ thể. Hy vọng các bạn sẽ hiểu bài và luôn đồng hành cùng chúng tôi. Chúc các bạn luôn học tập và đạt kết quả tốt.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang