Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng:

({Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0) và ({Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0).

Khi đó, tọa độ giao điểm của ({Delta _1}) và ({Delta _2}) là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0end{array} right.) (*)

({Delta _1}) cắt ({Delta _2}) tại ({M_0}({x_0};{y_0})) khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm duy nhất (({x_0};{y_0})).

({Delta _1}) // ({Delta _2}) khi và chỉ khi hệ (*) vô nghiệm.

Dựa vào các vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} ), (overrightarrow {{u_2}} ) hoặc các vecto pháp tuyến (overrightarrow {{n_1}} ), (overrightarrow {{n_2}} ) của ({Delta _1}), ({Delta _2}) ta có:

- ({Delta _1}) // ({Delta _2}) hoặc ({Delta _1}) trùng ({Delta _2}) ( Leftrightarrow ) (overrightarrow {{u_1}} ), (overrightarrow {{u_2}} ) cùng phương ( Leftrightarrow ) (overrightarrow {{n_1}} ), (overrightarrow {{n_2}} ) cùng phương.

+ Nếu ({Delta _1}), ({Delta _2}) có điểm chung thì ({Delta _1}) trùng ({Delta _2}).

+ Nếu tồn tại điểm thuộc ({Delta _1}) nhưng không thuộc ({Delta _2}) thì ({Delta _1}) // ({Delta _2}).

- ({Delta _1}) cắt ({Delta _2}) ( Leftrightarrow ) (overrightarrow {{u_1}} ), (overrightarrow {{u_2}} ) không cùng phương ( Leftrightarrow ) (overrightarrow {{n_1}} ), (overrightarrow {{n_2}} ) không cùng phương.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

Công thức:

Cho hai đường thẳng ({Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0) và ({Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0), với các vecto pháp tuyến (overrightarrow {{n_1}} ({a_1};{b_1})) và (overrightarrow {{n_2}} ({a_2};{b_2})) tương ứng. Khi đó, góc (varphi ) giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức:

(cos varphi = cos ({Delta _1},{Delta _2}) = left| {cos (overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} )} right|)

(= frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} right|}}{{sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}).

Chú ý:

+ ({Delta _1} bot {Delta _2} Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0).

+ Hai đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) có vecto chỉ phương lần lượt là (overrightarrow {{u_1}} ), (overrightarrow {{u_2}} ) thì góc (varphi ) cũng được xác định qua công thức (cos varphi = cos ({Delta _1},{Delta _2}) = left| {cos (overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} )} right| = frac{{left| {overrightarrow {{u_1}} .overrightarrow {{u_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_1}} } right|.left| {overrightarrow {{u_2}} } right|}}).

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (Delta ) có phương trình (ax + by + c = 0) và điểm ({M_0}({x_0};{y_0})). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Delta ), kí hiệu là (d(M,Delta )), được tính bởi công thức sau:

Chú ý: Nếu (M in Delta ) thì (d(M,Delta ) = 0).

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ({Delta _1}:2x - y + 1 = 0) và ({Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0).

b) ({Delta _3}:x - y - 1 = 0) và ({Delta _4}:left{ begin{array}{l}x = 1 + 2ty = 3 + 2tend{array} right.).

Giải:

a) Đường thẳng ({Delta _1}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} = (1;2)), đường thẳng ({Delta _2}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} = ( - 2; - 1)).

Do (frac{1}{{ - 2}} ne frac{2}{{ - 1}}) nên (overrightarrow {{u_1}} ) và (overrightarrow {{u_2}} ) không cùng phương, suy ra ({Delta _1}) cắt ({Delta _2}).

b) Đường thẳng ({Delta _3}), ({Delta _4}) lần lượt có vecto chỉ phương là (overrightarrow {{u_3}} = (1;1)) và (overrightarrow {{u_4}} = (2;2)). Suy ra (overrightarrow {{u_4}} = 2overrightarrow {{u_3}} ). Chọn t = 0, ta có điểm (M(1;3) in {Delta _4}). Do (1 - 3 - 1 ne 0) nên (M(1;3) notin {Delta _3}).

Vậy ({Delta _3}) // ({Delta _4}).

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

({Delta _1}:x - 2y + 1 = 0) và ({Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0).

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ begin{array}{l}x - 2y + 1 = 02x - 4y + 2 = 0end{array} right.).

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, ({Delta _1}) và ({Delta _2}) có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau:

a) ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + sqrt 3 {t_1}y = 1 + {t_1}end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + sqrt 3 {t_2}y = 4 - {t_2}end{array} right.).

b) ({Delta _1}:3x + y - 10 = 0) và ({Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0).

Giải:

a) ({Delta _1}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} = left( {sqrt 3 ;1} right)). ({Delta _2}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} = left( {sqrt 3 ; - 1} right)).

Do đó, ta có: (cos ({Delta _1},{Delta _2}) = frac{{left| {sqrt 3 .sqrt 3 + 1.( - 1)} right|}}{{sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + {1^2}} .sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = frac{1}{2}).

Vậy (({Delta _1},{Delta _2}) = {60^o}).

b) ({Delta _1}) có vecto pháp tuyến (overrightarrow {{n_1}} = left( {3;1} right)). ({Delta _2}) có vecto pháp tuyến (overrightarrow {{n_2}} = left( { - 2;1} right)).

Do đó, ta có: (cos ({Delta _1},{Delta _2}) = left| {cos (overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} )} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {3.( - 2) + 1.1} right|}}{{sqrt {{3^2} + {1^2}} .sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = frac{{sqrt 2 }}{2}).

Vậy (({Delta _1},{Delta _2}) = {45^o}).

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Delta ) trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và (Delta :2x - 3y + 5 = 0).

b) M(1;-3) và (Delta :left{ begin{array}{l}x = - 2 + 3ty = 2 - 4tend{array} right.).

Giải:

a) Ta có: (d(M,Delta ) = frac{{left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = frac{2}{{sqrt {13} }} = frac{{2sqrt {13} }}{{13}}).

b) Đường thẳng (Delta ) đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến (overrightarrow n = (4;3)).

Phương trình đường thẳng (Delta ) là (4(x + 2) + 3(y - 2) = 0). Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng (Delta ) là (4x + 3y + 2 = 0).

Vậy (d(M,Delta ) = frac{{left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} right|}}{{sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = frac{3}{5}).