Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( – 4; 1); B(2; 4); C(2; – 2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

Lời giải

a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC

Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)

Suy ra AD . AB = AE . AC

b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)

Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔ AB2 . BC = BH . BC2

( Leftrightarrow frac{{BH}}{{BC}} = frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}})

( Leftrightarrow frac{{BH}}{{BC - BH}} = frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} - A{B^2}}})

( Leftrightarrow frac{{BH}}{{HC}} = frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {left( {frac{{AB}}{{AC}}} right)^2})

c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH2 = 4 . 9 = 36

Suy ra AH = 6

Xét tứ giác ADHE có (widehat {DAE} = widehat {A{rm{D}}H} = widehat {A{rm{E}}H} = 90^circ )

Suy ra ADHE là hình chữ nhật

Mà AH, DE là hai đường chéo

Suy ra DE = AH = 6 (cm)

Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)

Hay 42 + 62 = AB2

Suy ra (AB = 2sqrt {13} )

Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay ({6^2} = A{rm{D }}.{rm{ }}2sqrt {13} )

Suy ra (A{rm{D = }}frac{{18}}{{sqrt {13} }})

Xét tam giác ADE vuông tại A có

({rm{cos}}widehat {A{rm{D}}E} = frac{{A{rm{D}}}}{{DE}} = frac{{18}}{{6sqrt {13} }} = frac{3}{{sqrt {13} }})

Suy ra (widehat {A{rm{D}}E} approx 33^circ ).

d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo

Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường

Mà AH = DE

Do đó OH = OD

Suy ra tam giác OHD cân tại O

Suy ra (widehat {OH{rm{D}}} = widehat {O{rm{D}}H})

Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra (DM = MH = frac{1}{2}BH = frac{1}{2}.4 = 2)

Do đó ΔDMH cân tại M

Suy ra (widehat {MDH} = widehat {MH{rm{D}}})

Mà (widehat {DHA} + widehat {MH{rm{D}}} = widehat {AHB} = 90^circ ) và (widehat {AH{rm{D}}} = widehat {{rm{ED}}H})(chứng minh trên)

Suy ra (widehat {H{rm{D}}E} + widehat {M{rm{DH}}} = widehat {M{rm{D}}E} = 90^circ )

Hay MD ⊥ DE.

Chứng minh tương tự ta có (EN = frac{{CH}}{2} = frac{9}{2} = 4,5)

và (widehat {DEH} + widehat {HEN} = widehat {AHE} + widehat {{rm{EHN}}} = widehat {AHC} = 90^circ )

Hay (widehat {DEN} = 90^circ )

Suy ra EN ⊥ DE

Mà MD ⊥ DE

Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)

Suy ra DENM là hình thang vuông

Do đó ({S_{DENM}} = frac{{left( {DM + EN} right).DE}}{2} = frac{{left( {2 + 4,5} right).6}}{2} = 19,5,,left( {c{m^2}} right)) .