Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Giải phương trình là một trong các dạng toán phổ biến và thường xuất hiện trong các đề thi. Trong chương trình Toán lớp 8, chúng ta sẽ tìm hiểu về một số phương trình cơ bản và phương trình chứa ẩn ở mẫu là một trong các dạng phương trình đó. Bài viết dưới đây sẽ nêu cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu chi tiết có bài tập ví dụ minh họa giúp các em dễ hiểu và nắm vững được các dạng toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu là gì?

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình chứa phân thức mà mẫu thức là một biểu thức chứa ẩn.

Ví dụ.

Phương trình là phương trình chứa ẩn ở mẫu (ẩn x).

Phương trình là phương trình chứa ẩn ở mẫu (ẩn u).

Phương trình không phải là phương trình chứa ẩn ở mẫu.

2. Tìm điều kiện xác định phương trình chứa ẩn ở mẫu

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, đầu tiên chúng ta cần đặt điều kiện của ẩn để mẫu thức khác 0 (điều kiện để phân thức có nghĩa). Điều kiện để tất cả các mẫu trong phương trình khác 0 được gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ. Tìm điều kiện xác định của phương trình .

Giải.

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là:

3. Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu chúng ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
• Bước 2: Tìm mẫu thức chung và quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Sau khi giải phương trình tìm được giá trị của ẩn cần so sánh với điều kiện ở Bước 1 và kết luận. Trong các giá trị vừa tìm được giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định được gọi là nghiệm của phương trình đã cho.

Lưu ý: Ở bước 2 khi khử mẫu hai vế của phương trình sau khi quy đồng thông thường ta sẽ thu được phương trình hệ quả của nó. Vì thế, ở bước này ta không sử dụng dấu "⇔" mà thay vào đó ta sử dụng dấu "⇒".

Ví dụ.

Giải phương trình .

Giải.

- Điều kiện xác định của phương trình trên là:

- Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta được

Suy ra

⇔ 3x2 + 9x - x - 3 + 3x2 + x - 9x - 3 = 2(3x2 + x + 9x + 3)

⇔ 6x2 - 6 = 6x2 + 20x + 6

⇔ - 20x = 6 + 6

⇔ -20x = 12

(Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

4. Các dạng toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 8 thường gặp

4.1. Dạng 1. Bài toán tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

*Phương pháp giải. Để tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đi tìm điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu của phương trình khác 0.

Đối với các phân thức có mẫu giống nhau thì ta chỉ ghi một lần. Trong trường hợp mẫu thức là biểu thức bậc hai thì chúng ta phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm điều kiện theo công thức:

A.B ≠ 0 ⇔

Bài tập. Tìm điều kiện của x để các phương trình sau xác định:

a) .

b)

a) Điều kiện xác định của phương trình là:

b) Ta có:

Điều kiện xác định của phương trình là:

.

4.2. Dạng 2. Giải phương trình

*Phương pháp giải. Dựa vào các bước giải phương trình đã nêu ở mục II.2 để giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu. Lưu ý có một số phương trình trước khi tìm mẫu thức chung ta cần thực hiện một số phép biến đổi dấu của phân thức: .

Bài tập. Giải các phương trình sau:

a) .

b)

a)

+ Điều kiện xác định của phương trình là:

+ Ta có:

(Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

b)

+ Điều kiện xác định của phương trình là:

+ Ta có:

(Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {9}.

4.3. Dạng 3. Xét xem giá trị x = x0 có là nghiệm của phương trình đã cho không?

*Phương pháp giải. Thông thường dạng toán này thường gặp dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm để giải nhanh ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Kiểm tra một giá trị x = x0 có thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình hay không? Nếu không ta kết luận ngay giá trị x = x0 không là nghiệm của phương trình đã cho.
• Bước 2: Khi giá trị x = x0 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình ta sẽ thay x = x0 lần lượt vào hai vế của phương trình đã cho:
  • Nếu hai vế của phương trình nhận cùng một giá trị thì kết luận x = x0 là nghiệm của phương trình.
  • Ngược lại, nếu hai vế của phương trình nhận hai giá trị khác nhau thì kết luận x = x0 không là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 1. Chọn câu trả lời đúng. là nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Chọn đáp án D.

A. Sai. Vì x = -2 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

B. Sai. Vì với x = -2 ta có VT = -13, VP = nên x = -2 không là nghiệm của phương trình.

C. Sai. Vì x = -2 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

D. Đúng. Vì với x = -2 ta có VT = VP = 6.

Bài 2. Chọn câu trả lời đúng. là nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Chọn đáp án B.

A. Sai. Vì u = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

B. Đúng. Vì với u = 0 ta có VT = VP = .

C. Sai. Vì với u = 0 ta có VT = 2, VP = -4.

D. Sai. Vì u = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình

4.4. Dạng 4. Tìm giá trị của ẩn để biểu thức chứa ẩn ở mẫu bằng một giá trị cho trước

*Phương pháp giải. Đối với bài toán tìm x để biểu thức A(x) nhận giá trị bằng m, ta cho biểu thức A(x) bằng m và đưa về bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu A(x)=m. Áp dụng cách giải phương trình đã nêu ở mục II.2 để tìm x. Trong trường hợp phương trình A(x) = m vô nghiệm thì ta kết luận: Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức A(x) nhận giá trị bằng m.

Bài tập. Cho biểu thức .

a) Tìm điều kiện xác định của Q.

b) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị bằng 2.

a) Điều kiện xác định của biểu thức Q là:

.

b) Ta có Q = 2

(Vô lý)

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức Q nhận giá trị bằng 2.

Mong rằng qua bài viết này các em sẽ hiểu hơn về cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 8 từ đó áp dụng vào giải các bài toán tìm điều kiện xác định của phương trình, tìm nghiệm của phương trình chứa ẩn ở mẫu... Chúc các em học tốt!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang