Đồng quy là gì? Các tính chất của đồng quy trong hình học

Đồng quy là gì là câu hỏi quan trọng trong hình học phẳng. Một cách hiểu ngắn gọn: nhiều đường thẳng được gọi là đồng quy khi chúng cùng đi qua một điểm chung.

Đồng quy là gì?

Đồng quy là tính chất của ba hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là điểm đồng quy.

Ví dụ, nếu ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua điểm O, ta nói chúng đồng quy tại O.

Trong hình học, đồng quy thường xuất hiện trong tam giác. Các đường đặc biệt của tam giác tạo ra nhiều điểm đồng quy quen thuộc.

Điểm đồng quy là gì?

Điểm đồng quy là điểm chung của các đường thẳng đồng quy. Đây là vị trí mà các đường cùng cắt nhau.

Nếu chỉ có hai đường thẳng cắt nhau, ta thường nói chúng giao nhau. Khi có từ ba đường cùng đi qua một điểm, ta nói đồng quy.

Vì vậy, trong bài toán chứng minh, ta thường cần xác định điểm chung trước. Sau đó, chứng minh từng đường đi qua điểm đó.

Các tính chất đồng quy trong tam giác

Tam giác có nhiều bộ ba đường đặc biệt đồng quy. Đây là phần học sinh cần ghi nhớ kỹ.

Đồng quy của ba đường trung tuyến

Trong một tam giác, ba đường trung tuyến luôn đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm.

Trọng tâm có tính chất chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. Phần gần đỉnh dài gấp đôi phần gần cạnh đáy.

Đây là tính chất rất hay dùng trong bài toán tính độ dài, chứng minh tỉ số và tọa độ.

Đồng quy của ba đường phân giác

Ba đường phân giác trong của một tam giác luôn đồng quy. Điểm đồng quy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Vì vậy, ta có thể dựng một đường tròn tiếp xúc cả ba cạnh.

Tính chất này thường dùng khi bài có khoảng cách từ một điểm đến ba cạnh. Nó cũng hay gặp trong bài toán chứng minh tiếp xúc.

Đồng quy của ba đường cao

Ba đường cao của tam giác luôn đồng quy tại trực tâm. Vị trí trực tâm phụ thuộc vào loại tam giác.

Với tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác. Với tam giác vuông, trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Với tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác. Đây là điểm học sinh dễ nhầm khi vẽ hình.

Đồng quy của ba đường trung trực

Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Nếu gọi điểm đồng quy là O, ta có OA = OB = OC. Vì vậy, O là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác.

Với tam giác vuông, tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền. Đây là tính chất cần nhớ.

Cách chứng minh các đường đồng quy

Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy, bạn cần chỉ ra chúng cùng đi qua một điểm. Có nhiều hướng xử lý.

• Dùng định nghĩa: Chứng minh ba đường cùng đi qua một điểm cụ thể.
• Dùng tính chất tam giác: Nhận diện trung tuyến, phân giác, đường cao hoặc trung trực.
• Dùng định lý đảo: Chứng minh một đường là đường đặc biệt còn lại.
• Dùng tọa độ: Tìm giao điểm hai đường rồi chứng minh đường thứ ba đi qua điểm đó.

Theo kinh nghiệm, cách đơn giản nhất là tìm giao điểm của hai đường trước. Sau đó, chứng minh đường thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.

Ví dụ về đồng quy có lời giải

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Hỏi G là điểm gì?

Lời giải: Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại trọng tâm. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 2: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua điểm I. Điểm I có tính chất gì?

Lời giải: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Do đó, I cách đều ba cạnh của tam giác.

Ví dụ 3: Tam giác ABC vuông tại A. Ba đường cao đồng quy tại đâu?

Lời giải: Với tam giác vuông, trực tâm chính là đỉnh góc vuông. Vậy ba đường cao đồng quy tại A.

Bài tập tự luyện về đồng quy

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh AM, BN, CP đồng quy.

Gợi ý: AM, BN, CP là ba đường trung tuyến của tam giác.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Ba đường phân giác trong cắt nhau tại I. Chứng minh I cách đều ba cạnh.

Gợi ý: Dùng tính chất điểm nằm trên tia phân giác của một góc.

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là giao điểm hai đường cao. Chứng minh đường cao thứ ba cũng đi qua H.

Gợi ý: Dùng tính chất ba đường cao đồng quy tại trực tâm.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Gợi ý: Tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.

Lỗi sai thường gặp khi học đồng quy

Lỗi đầu tiên là nhầm đồng quy với song song. Đồng quy nói về cùng đi qua một điểm, không phải cùng phương.

Lỗi thứ hai là chỉ vẽ hình rồi kết luận. Hình vẽ có thể lệch, nên cần lý luận bằng tính chất hoặc định lý.

Lỗi khác là gọi sai tên điểm đồng quy. Ví dụ, trung tuyến đồng quy tại trọng tâm, còn đường cao đồng quy tại trực tâm.

Câu hỏi thường gặp

Đồng quy là gì?

Đồng quy là hiện tượng ba hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Điểm đồng quy là gì?

Điểm đồng quy là điểm chung mà các đường thẳng cùng đi qua.

Ba đường trung tuyến có đồng quy không?

Có. Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại trọng tâm.

Ba đường cao của tam giác đồng quy ở đâu?

Ba đường cao của tam giác đồng quy tại trực tâm.

Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy là gì?

Thường chứng minh chúng cùng đi qua một điểm đã xác định.

Kết luận

Đồng quy là gì? Đó là tính chất nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm chung. Điểm này gọi là điểm đồng quy.

Trong tam giác, các tính chất đồng quy quan trọng gồm trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp.

Khi làm bài, hãy nhận diện loại đường đặc biệt trước. Cách này giúp chọn đúng định lý và tránh chứng minh dài.