Cách tính tọa độ trọng tâm tam giác & bài tập vận dụng

Trong bài viết trước, ta đã được tìm hiểu về công thức tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng. Vậy muốn tìm tọa độ trọng tâm của một tam giác ta phải thực hiện như thế nào? Bài viết sau VOH Giáo Dục sẽ giới thiệu cho bạn đọc công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác và một số dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao có sử dụng công thức này. Qua đó giúp các bạn luyện tập ghi nhớ công thức và phát triển sự sáng tạo, tư duy trong học tập. Mời các bạn cùng tìm hiểu.

1. Cách tính tọa độ trọng tâm tam giác

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Các đỉnh M, N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (xM ; yM), (xN ; yN) và (xP ; yP). Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Khi đó, tọa độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác MNP được tính theo công thức sau đây:

.

∗ Chứng minh công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác:

Theo giả thiết, ta có G là trọng tâm của tam giác MNP. Khi đó, với một điểm O tùy ý ta được:

(theo tính chất trọng tâm của tam giác).

Lấy điểm O chính là gốc tọa độ O(0 ; 0). Từ đó, ta được:

Ta suy ra

Do đó, tọa độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác MNP là .

2. Ví dụ tìm tọa độ trọng tâm tam giác

Ví dụ 1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Biết các đỉnh M, N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (5 ; 1), (- 2 ; 3) và (3 ; 2). Em hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Lời giải

Giả sử trọng tâm G của tam giác MNP có tọa độ là (xG ; yG).

Khi đó, sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

Suy ra xG = 2; yG = 2.

Do đó, tọa độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác MNP là G(2 ; 2).

Ví dụ 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Biết các đỉnh M, N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (7 ; 5), (- 1 ; 6) và (3 ; 1). Em hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Lời giải

Giả sử trọng tâm G của tam giác MNP có tọa độ là (xG ; yG).

Khi đó, sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

Suy ra xG = 3; yG = 4.

Do đó, tọa độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác MNP là G(3 ; 4).

3. Một số dạng toán tính tọa độ trọng tâm tam giác

3.1. Dạng 1: Tìm tọa độ các đỉnh và trọng tâm của tam giác

* Phương pháp giải:

Muốn tìm tọa độ các đỉnh và trọng tâm của tam giác, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học ở mục 1 nêu trên.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Biết các đỉnh M, N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (10 ; - 5), (3 ; 1) và (2 ; 4). Em hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giả sử trọng tâm G của tam giác MNP có tọa độ là (xG ; yG).

Khi đó, sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

Suy ra xG = 5; yG = 0.

Do đó, tọa độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác MNP là G(5 ; 0).

Bài 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP và J là trung điểm của đoạn thẳng NP. Biết điểm J có tọa độ là (4 ; - 1) và đỉnh M của tam giác MNP có tọa độ là (10 ; 5). Em hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Vì J là trung điểm của đoạn thẳng NP, nên theo công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng đã học, ta có:

Giả sử trọng tâm G của tam giác MNP có tọa độ là (xG ; yG).

Khi đó, sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

Suy ra xG = 6; yG = 1.

Do đó, tọa độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác MNP là G(6 ; 1).

Bài 3. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Biết trọng tâm G có tọa độ là G(- 3 ; 7) và hai đỉnh N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (- 8 ; 8), (2 ; 10). Em hãy tìm tọa độ đỉnh M của tam giác MNP.

Giả sử đỉnh M của tam giác MNP có tọa độ là (xM ; yM).

Vì G là trọng tâm của tam giác MNP, nên theo công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

hay

Suy ra xM = (- 3).3 + 6 = - 3; yM = 7.3 - 18 = 3.

Do đó, tọa độ đỉnh M(xM ; yM) của tam giác MNP là M(- 3 ; 3).

3.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số a và b khi biết tọa độ trọng tâm của tam giác

* Phương pháp giải:

Muốn tìm các giá trị của hai tham số a và b khi biết tọa độ trọng tâm của tam giác, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học ở mục 1 nêu trên.

Bài tập vận dụng:

Bài 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Biết trọng tâm G có tọa độ là G(a + 1 ; b) và các đỉnh M, N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (0 ; 2b - 3), (a ; 1) và (a + 7 ; 4). Em hãy tìm các giá trị của hai tham số a và b.

Vì G là trọng tâm của tam giác MNP, nên theo công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

hay

Do đó a = 4 và b = 2.

Bài 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác MNP. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Biết trọng tâm G có tọa độ là G(3a + b; a - 2b) và các đỉnh M, N, P của tam giác MNP có tọa độ lần lượt là (6a + b ; a - b), (2a + 2 ; b + 1) và (4 ; 1 - 5b). Em hãy tìm các giá trị của hai tham số a và b.

Vì G là trọng tâm của tam giác MNP, nên theo công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác đã học, ta có:

hay

Giải hệ phương trình trên ta được: a = 2; b = 2.

Vậy a = 2 và b = 2.

Như vậy, bài viết đã giới thiệu cho các bạn công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác và một số dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao có sử dụng công thức này, giúp các bạn luyện tập để ghi nhớ công thức và phát triển sự sáng tạo, tư duy trong học tập.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang