Cho hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Nêu công thức tính độ dài đoạn thẳng IM.

Hướng dẫn giải:

Gọi vị trí người đó đang đứng là B(- 3; 4).

Ta có: (overrightarrow {BI} = left( { - 2 - left( { - 3} right);,1 - 4} right) = left( {1;, - 3} right)), (BI = sqrt {{1^2} + {{left( { - 3} right)}^2}} = sqrt {10} ).

BI > R nên B nằm ngoài đường tròn ranh giới, giả sử đường thẳng BI cắt đường tròn tại điểm A, khi đó AB là khoảng cách ngắn nhất từ B đến vùng phủ sóng.

Ta cần tìm tọa độ điểm A.

Đường thẳng BI có một vectơ chỉ phương là vectơ (overrightarrow {BI} ) nên nó có một vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n = left( {3;,,1} right)). Do đó, phương trình đường thẳng BI là 3(x + 3) + 1(y - 4) = 0 hay 3x + y + 5 = 0.

Tọa độ của giao điểm A là nghiệm của hệ phương trình (left{ begin{array}{l}3x + y + 5 = 0{left( {x{rm{ }} + {rm{ }}2} right)^2} + {rm{ }}{left( {y{rm{ }}-{rm{ }}1} right)^2} = {rm{ }}9end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = - 3x - 5{left( {x + 2} right)^2} + {left( { - 3x - 5 - 1} right)^2} = 9end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = - 3x - 5{x^2} + 4x + 4 + 9{x^2} + 36x + 36 = 9end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = - 3x - 510{x^2} + 40x + 31 = 0end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = - 3x - 5left[ begin{array}{l}x = frac{{ - 20 + 3sqrt {10} }}{{10}}x = frac{{ - 20 - 3sqrt {10} }}{{10}}end{array} right.end{array} right.)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x = frac{{ - 20 + 3sqrt {10} }}{{10}}y = frac{{10 - 9sqrt {10} }}{{10}}end{array} right.left{ begin{array}{l}x = frac{{ - 20 - 3sqrt {10} }}{{10}}y = frac{{10 + 9sqrt {10} }}{{10}}end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}Aleft( {frac{{ - 20 + 3sqrt {10} }}{{10}};,,frac{{10 - 9sqrt {10} }}{{10}}} right)Aleft( {frac{{ - 20 - 3sqrt {10} }}{{10}};,,frac{{10 + 9sqrt {10} }}{{10}}} right)end{array} right.)

+ Với (Aleft( {frac{{ - 20 + 3sqrt {10} }}{{10}};,,frac{{10 - 9sqrt {10} }}{{10}}} right))

Ta có: (AB = sqrt {{{left( { - 3 - frac{{ - 20 + 3sqrt {10} }}{{10}}} right)}^2} + {{left( {4 - frac{{10 - 9sqrt {10} }}{{10}}} right)}^2}} approx 6,2)

+ Với (Aleft( {frac{{ - 20 - 3sqrt {10} }}{{10}};,,frac{{10 + 9sqrt {10} }}{{10}}} right))

Ta có: (AB = sqrt {{{left( { - 3 - frac{{ - 20 - 3sqrt {10} }}{{10}}} right)}^2} + {{left( {4 - frac{{10 + 9sqrt {10} }}{{10}}} right)}^2}} approx 0,2)

Do 0,2 < 6,2 nên ta chọn kết quả 0,2.

Vậy tính theo đường chim bay, khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (- 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng là 0,2 km.