Giao điểm của parabol (y = {x^2}) và đường thẳng (y = x + 2) cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng          

⦁ Chứng minh bổ đề 1: Với (x > 0,,,y > 0) ta luôn có (frac{1}{x} + frac{1}{y} ge frac{4}{{x + y}}.)

Thật vậy, với (x > 0,,,y > 0) ta luôn có:

({left( {x - y} right)^2} ge 0)

({x^2} - 2xy + {y^2} ge 0)

({x^2} + 2xy + {y^2} ge 4xy)

({left( {x + y} right)^2} ge 4xy)

(frac{{{{left( {x + y} right)}^2}}}{{xyleft( {x + y} right)}} ge frac{{4xy}}{{xyleft( {x + y} right)}})

(frac{{x + y}}{{xy}} ge frac{4}{{x + y}})

(frac{1}{x} + frac{1}{y} ge frac{4}{{x + y}}).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x = y.) Bất đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh bổ đề 2: Với (x > 0,,,y > 0) ta luôn có (frac{x}{y} + frac{y}{x} ge 2.)

Thật vậy, với (x > 0,,,y > 0) ta luôn có:

({left( {x - y} right)^2} ge 0)

({x^2} - 2xy + {y^2} ge 0)

({x^2} + {y^2} ge 2xy)

(frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} ge frac{{2xy}}{{xy}})

(frac{x}{y} + frac{y}{x} ge 2.)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x = y.) Bất đẳng thức được chứng minh.

⦁ Với (a,,,b,,,c) là các số thực dương, ta có:

(P = frac{{3left( {b + c} right)}}{{2a}} + frac{{4a + 3c}}{{3b}} + frac{{12left( {b - c} right)}}{{2a + 3c}})

( = frac{{3b}}{{2a}} + frac{{3c}}{{2a}} + frac{{4a}}{{3b}} + frac{{3c}}{{3b}} + frac{{12left( {b - c} right)}}{{2a + 3c}} + 4 - 4)

( = left( {frac{{3b}}{{2a}} + frac{{2a}}{{3b}}} right) + left( {frac{{2a}}{{3b}} + 1} right) + left( {frac{{3c}}{{2a}} + frac{{3c}}{{3b}}} right) + frac{{12b - 12c + 8a + 12c}}{{2a + 3c}} - 5)

( = left( {frac{{3b}}{{2a}} + frac{{2a}}{{3b}}} right) + left( {frac{{2a}}{{3b}} + frac{{2a}}{{2a}}} right) + left( {frac{{3c}}{{2a}} + frac{{3c}}{{3b}}} right) + frac{{4left( {3b + 2a} right)}}{{2a + 3c}} - 5)

( = left( {frac{{3b}}{{2a}} + frac{{2a}}{{3b}}} right) + 2aleft( {frac{1}{{3b}} + frac{1}{{2a}}} right) + 3cleft( {frac{1}{{2a}} + frac{1}{{3b}}} right) + frac{{4left( {3b + 2a} right)}}{{2a + 3c}} - 5.)

⦁ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: (frac{{3b}}{{2a}} + frac{{2a}}{{3b}} ge 2sqrt {frac{{3b}}{{2a}} cdot frac{{2a}}{{3b}}} = 2.)

Áp dụng bất đẳng thức bổ đề 1 đã chứng minh ở trên, ta có:

[2aleft( {frac{1}{{3b}} + frac{1}{{2a}}} right) ge frac{{2a cdot 4}}{{2a + 3b}}] và [3cleft( {frac{1}{{2a}} + frac{1}{{3b}}} right) ge frac{{3c cdot 4}}{{2a + 3b}}.]

Do đó (P = left( {frac{{3b}}{{2a}} + frac{{2a}}{{3b}}} right) + 2aleft( {frac{1}{{3b}} + frac{1}{{2a}}} right) + 3cleft( {frac{1}{{2a}} + frac{1}{{3b}}} right) + frac{{4left( {3b + 2a} right)}}{{2a + 3c}} - 5)

[ ge 2 + frac{{2a cdot 4}}{{2a + 3b}} + frac{{3c cdot 4}}{{2a + 3b}} + frac{{4left( {3b + 2a} right)}}{{2a + 3c}} - 5]

[ ge 2 + 4left( {frac{{2a + 3c}}{{2a + 3b}} + frac{{2a + 3b}}{{2a + 3c}}} right) - 5]

[ ge 2 + 4 cdot 2 - 5] (áp dụng bất đẳng thức bổ đề 2 đã chứng minh)

[ = 5.]

Như vậy, (P ge 5.) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (left{ begin{array}{l}frac{{3b}}{{2a}} = frac{{2a}}{{3b}}frac{1}{{3b}} = frac{1}{{2a}}frac{1}{{2a}} = frac{1}{{3b}}frac{{2a + 3c}}{{2a + 3b}} = frac{{2a + 3b}}{{2a + 3c}}end{array} right.) tức là (2a = 3b = 3c.)

Vậy (P) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi (2a = 3b = 3c.)