Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Trong chương trình Toán lớp 9, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một chuyên đề rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ cũng như kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.

I. Nhắc lại về cách tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

+ Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một số không âm với hằng số, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức ấy.

- Khi biến đổi biểu thức thành hiệu của một số với một số không âm, ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức ấy.

+ Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

- Theo bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

• |a| + |b| ≥ |a + b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
• |a - b| ≤ |a| + |b|. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≤ 0

+ Cách 4: Phương pháp dùng điều kiện xác định

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất

Có

Lại có

Dấu “=” xảy ra

Min

Vậy Max

Bài 2: Cho biểu thức

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

a, với x > 0, x ≠ 1

b, với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:

Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)

Vậy max

Bài 3: Cho biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Hướng dẫn giải

a, với x ≥ 0, x ≠ 4

b, Ta có:

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min

Bài 4: Cho hai biểu thức: và với .

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

b) Với thì

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là khi .

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Biết và với .

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vì

Vậy GTLN .

Bài 6: Cho các biểu thức: và với .

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Với Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức B ta được:

b) Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

Vậy GTNN .

Bài 7: Cho hai biểu thức: và với .

a) Thu gọn biểu thức K.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn biểu thức K ta được:

b) Ta có:

Xét

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

Vậy GTLN .

Bài 8: Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức L.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Hướng dẫn giải

b.

Kết hợp với điều kiện ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

Vậy giá trị lớn nhất .

III. Bài tập tự luyện về tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Cho hai biểu thức và với

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 2: Cho hai biểu thức và với .

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 3: Cho hai biểu thức và với

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Với . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 4: Cho biểu thức và với

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho và với

a. Tính giá trị của khi .

b. Rút gọn .

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 6: Cho hai biểu thức và với

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 7: Cho biểu thức và với .

a. Tính giá trị của biểu thức khi .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 8: Cho hai biểu thức và với

a. Tính giá trị của biểu thức khi

b. Chứng minh

c. Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9: Cho biểu thức và với

a. Tìm các giá trị của để .

b. Rút gọn biểu thức .

c. Tìm số thực dương sao cho đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1.

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta được

a. Ta có .

Khi đó .

b. Ta có .

Để biểu thức có giá trị lớn nhất thì là số dương lớn nhất hay có giá trị bé nhất.

Mà nên có giá trị nhỏ nhất bằng . Đạt được khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng . Đạt được khi .

Bài 2.

Thay ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được

Ta có

Ta có

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất hay là số dương bé nhất.

Nhận thấy với mọi

.

Dấu xảy ra khi (thỏa mãn)

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.