Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$.

$a{x^2} + bx + c > 0,,forall x in R,, Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a > 0Delta < 0end{array} right.$

$a{x^2} + bx + c ge 0,,forall x in R,, Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a > 0Delta le 0end{array} right.$

$a{x^2} + bx + c < 0,,forall x in R,, Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a < 0Delta < 0end{array} right.$

$a{x^2} + bx + c le 0,,forall x in R,, Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}a < 0Delta le 0end{array} right.$

B. Bài tập vận dụng

Bài 1:

a) Xét dấu tam thức (3{x^2} - 2x + 1).

Ta có (left{ begin{array}{l}Delta < 0a = 3 > 0end{array} right.) suy ra (3{x^2} - 2x + 1 > 0), (forall x in mathbb{R}).

b) Xét dấu tam thức ( - {x^2} + 4x + 5).

Phương trình ( - {x^2} + 4x + 5 = 0) có (Delta > 0), a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.

Bảng xét dấu:

Suy ra ( - {x^2} + 4x + 5 > 0) khi (x in ( - 1;5)) và ( - {x^2} + 4x + 5 < 0) khi (x in ( - infty ; - 1) cup (5; + infty )).

c) Xét dấu tam thức ( - 4{x^2} + 12x - 9).

Ta có (left{ begin{array}{l}Delta = 0a = - 4 < 0end{array} right.), phương trình ( - 4{x^2} + 12x - 9 = 0) có nghiệm kép (x = frac{3}{2}).

Suy ra ( - 4{x^2} + 12x - 9 < 0) (forall x ne frac{3}{2}).

Bài 2: Tìm m để biểu thức (f(x) = m{x^2} - x - 1) luôn âm.

Với (m = 0) thì (f(x) = - x - 1) vẫn có thể đạt giá trị dương nên loại m.

Với (m ne 0) thì (f(x) = m{x^2} - x - 1) là tam thức bậc hai.

Để (f(x) < 0) (forall x in mathbb{R}) thì (left{ begin{array}{l}a = m < 0Delta = 1 + 4m < 0end{array} right.) hay ( - frac{1}{4} < m < 0).

Vậy để biểu thức (f(x) = m{x^2} - x - 1) luôn âm thì ( - frac{1}{4} < m < 0).

Bài 3: Tìm m để (3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 ge 0), (forall x in mathbb{R}).

Cần (left{ begin{array}{l}Delta {'_1} le 0{a_1} = 3 > 0end{array} right.)

Ta có (Delta {'_1} = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) le 0) hay (7{m^2} - 7m + 7 le 0).

Xét biểu thức (7{m^2} - 7m + 7) có (left{ begin{array}{l}{Delta _2} = {( - 7)^2} - 4.7.7 = - 147 < 0{a_2} = 7 > 0end{array} right.) nên (7{m^2} - 7m + 7 > 0).

Suy ra không có giá trị m nào để (7{m^2} - 7m + 7 le 0), hay (Delta {'_1} le 0).

Vậy không có giá trị m để (3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 ge 0), (forall x in mathbb{R}).

Bài 4: Chứng minh hàm số (y = sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} ) có tập xác định là (mathbb{R}) với mọi m.

ĐKXĐ: ({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 ge 0) (*)

Với (m = 0) thì (*) đúng với mọi x.

Với (m ne 0), xét tam thức bậc hai (f(x) = {m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5).

Ta có (left{ begin{array}{l}a = {m^2} > 0Delta ' = 4{m^2} - 8(2{m^2} + 1) = - 12{m^2} - 8 < 0end{array} right.)

Suy ra ({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 > 0) (forall x in mathbb{R}).

Vậy hàm số (y = sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} ) có tập xác định là (mathbb{R}) với mọi m.