Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R (cực hay)

Bài viết Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R.

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R (cực hay)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Phương pháp giải

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là:

d=d(I;(P))

Bán kính R của mặt cầu được tính theo công thức:

R=√(r2+d2 )

Khi đó phương trình mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là:

Lời giải:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)

Bán kính R của mặt cầu là:

R= 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-2)2+(y-1)2+(z-3)2=25

Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 4) và mặt phẳng (P): x + y + z =1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π

Lời giải:

Gọi r là bán kính thiết diện

Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2

Phương trình mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R=√(r2+d2 )=4

Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 4 là:

(x-1)2+(y-2)2+(z-4)2=16

Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): 5x - 4y + z - 6 = 0, (Q): 2x - y + z + 7 = 0 và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một đường tròn có diện tích là 20π.

Lời giải:

I là giao điểm của (P) và Δ

I thuộc Δ nên I (1+7t; 3t; 1 - 2t)

Lại có I thuộc (P) nên:

5(1+7t) -4.3t+1 -2t-6=0 ⇔ t=0

⇒ I(1;0;1)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là:

d(I;(Q))= (5√6)/3

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

πr2 =20π ⇒ r=2√5

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:

⇒ R=√(r2 +d2 )= √(330)/3

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2+y2+(z-1)2=110/3

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)