Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng | Lý thuyết và bài tập Toán 10

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là gì?

Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là d(M, Δ), được định nghĩa là độ dài đoạn vuông góc hạ từ M đến Δ. Nói cách khác, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là độ dài đoạn vuông góc từ điểm M đến hình chiếu của nó trên đường thẳng Δ.

Công thức tính khoảng cách giữa điểm và đường thẳng

Công thức tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}), với a² + b² >0.

Trong đó:

• (x0, y0): tọa độ của điểm M.

• a, b, c: các hệ số trong phương trình đường thẳng.

• a² + b² ≠ 0.

Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Với đường thẳng dạng tổng quát:

Đối với đường thẳng cho dưới dạng tổng quát, thí sinh áp dụng trực tiếp công thức.

Δ: ax + by + c=0

Thay trực tiếp tọa độ của điểm vào công thức:

[d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}]Với đường thẳng tham số hoặc chính tắc:

Khi đường thẳng cho ở dạng tham số, thí sinh cần chuyển sang dạng tổng quát:

[x = x_1 + a t][y = y_1 + b t]Sau khi loại bỏ tham số t, thí sinh áp dụng công thức cơ bản.

Với dạng chính tắc:

[frac{x - x_1}{a} = frac{y - y_1}{b}]Thí sinh cũng quy đổi tương tự để đưa về dạng ax + by + c=0.

Với tham số m:

Trong nhiều bài toán nâng cao, đường thẳng có dạng chứa tham số m, ví dụ:

Δm: mx + y − 1=0

Khi đó, thí sinh có thể:

• Tính (d(m) = frac{|m x_0 + y_0 - 1|}{sqrt{m^2 + 1}})

• Giải phương trình d(m) = k (với k cho trước).

• Hoặc tìm giá trị m để d(m) đạt giá trị nhỏ nhất.

Kết hợp với vị trí tương đối: Sử dụng d để xác định cắt/tiếp xúc với đường tròn:

Khoảng cách d còn được dùng để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.Cho đường tròn (C): (x − a)² + (y − b)² = R² và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0.Khi đó:

• Nếu d < R: Đường thẳng cắt đường tròn.

• Nếu d = R: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn.

• Nếu d > R: Đường thẳng không cắt đường tròn.

Chiến thuật kiểm tra nhanh: Sử dụng GeoGebra vẽ đường thẳng và điểm để xác nhận d:

Để kiểm chứng kết quả, người học có thể dùng phần mềm GeoGebra - một công cụ hình học động (dynamic geometry software), bàng cách nhập phương trình đường thẳng và điểm, sau đó dùng lệnh “Perpendicular Line” để vẽ đường vuông góc, rồi đo độ dài đoạn từ điểm đến đường. Kết quả thu được trùng với giá trị tính theo công thức, giúp củng cố trực quan.

Ví dụ minh họa cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Ví dụ 1: Tính d từ M (1,2) đến ∆: 3x + 4y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

[d = frac{|3cdot 1 + 4cdot 2 - 5|}{sqrt{3^2 + 4^2}} = frac{|3 + 8 - 5|}{5} = frac{6}{5}]Vậy: d (M, ∆) = 6/5

Ví dụ 2: Với m, tìm m để d từ A(0,0) đến mx + y - 1 = 0 bằng 1/√2.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

[d = frac{|0cdot m + 0 - 1|}{sqrt{m^2 + 1}} = frac{1}{sqrt{m^2 + 1}}]Mà khoảng cách cho sẵn bởi yêu cầu đề bài là (frac{1}{sqrt{2}}), vậy nên: (frac{1}{sqrt{m^2 + 1}} = frac{1}{sqrt{2}})

Từ đó, thí sinh tính ra m² + 1 = 2 => m² = 1 => m = ±1

Vậy: m = 1 hoặc m = -1

Ví dụ 3: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường đến đường thẳng ∆ thứ ba.

Đề bài: Cho hai đường thẳng d1: x + y − 2 = 0, d2: x − y = 0. Gọi A là giao điểm của d1​ và d2​. Tính khoảng cách từ A đến Δ: x + 2y − 3= 0.

Trước tiên, thí sinh cần giải hệ phương trình hai đường thẳng d1 và d2:

x + y = 2

x - y = 0

=> x = 1, y = 1 => A(1,1)

Sau đó, thí sinh đơn giản ap dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

[d = frac{|1 + 2cdot 1 - 3|}{sqrt{1^2 + 2^2}} = frac{0}{sqrt{5}} = 0]Vậy: Điểm A nằm trên đường thẳng Δ.

Bài tập luyện tập

Bài tập 1. Tính khoảng cách từ M(2,-1) đến Δ: x + 2y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

[d = frac{|2 + 2cdot(-1) + 3|}{sqrt{1^2 + 2^2}} = frac{3}{sqrt{5}}]Vậy: d (M, ∆) = 3/ √5

Bài tập 2. Tính khoảng cách từ P(-3,2) đến Δ: 3x - y + 5 = 0

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

[d = frac{|3cdot(-3) - 2 + 5|}{sqrt{3^2 + 1^2}} = frac{6}{sqrt{10}} = frac{3sqrt{10}}{5}]Vậy: d (M, ∆) = 3.√10/ 5

Bài tập 3. Cho A(0,2) tìm m để Δ: 2x + my − 3 = 0 cách A một khoảng bằng 1.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

[d = frac{|0 + 2m - 3|}{sqrt{4 + m^2}} = 1 Rightarrow |2m - 3| = sqrt{4 + m^2}]Tiếp tục giải, thí sinh sẽ có được kết quả (m = frac{6 + sqrt{21}}{3}) hoặc (m = frac{6 - sqrt{21}}{3})

Vậy: (m = frac{6 + sqrt{21}}{3}) hoặc (m = frac{6 - sqrt{21}}{3}).

Bài tập 4. Tính khoảng cách giữa M(1,−1) và đường thẳng x − y − 2 = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: (d = frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}) vào bài toán có:

(d = frac{|1 + 1 - 2|}{sqrt{2}} = 0) => M nằm trên đường thẳng đó.

Vậy: M nằm trên đường thẳng.

Bài tập 5. Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 9. Xét vị trí tương đối của Δ: 3x + 4y + 10 = 0 với đường tròn.

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa tâm đường tròn và đường thẳng ∆, ta có: (d = frac{|3cdot 1 + 4cdot(-2) + 10|}{sqrt{3^2 + 4^2}} = 1)

Trong khi đó, bán kính của đường tròn (C) có độ dài là: R² = 9 => R = 3

Có thể thấy, d < R (1 < 3) => Δ cắt (C).

Vậy: đường thẳng Δ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Ứng dụng thực tế

Công thức tinh khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng không chỉ là kiến thức học thuật mà còn có thể được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:

• Hệ thống định vị GPS (Global Positioning System): Trong việc lập bản đồ và định hướng giao thông, việc xác định khoảng cách ngắn nhất từ vị trí người dùng đến tuyến đường hoặc điểm nhất định giúp chọn lộ trình tối ưu bằng cách sử dụng khái niệm shortest-distance (khoảng cách ngắn nhất) giữa điểm và đường.

• Kỹ thuật xây dựng và bản vẽ kỹ thuật : Khi thiết kế các công trình xây dựng, cần kiểm tra xem một điểm (ví dụ: trụ, cột) nằm cách đường ranh giới (hoặc móng) bao nhiêu để đảm bảo đúng khoảng cách an toàn hoặc vuông góc chính xác với đường thẳng tham chiếu, có thể được ứng dụng bởi công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (d = |a x0 + b y0 + c| / √(a² + b²)).

• Đồ họa máy tính và nghiên cứu robot : Trong xử lý hình ảnh hoặc lập trình chuyển động robot, khoảng cách từ một “điểm” đến một “đường” thường phải được tính để xác định va chạm, tiếp cận hay di chuyển theo quỹ đạo gần nhất.

Ôn tập thêm: Vị trí tương đối của hai đường thẳng | Lý thuyết và bài tập Toán 10

Tác giả: Phạm Minh Quân