Tứ giác nội tiếp là gì và các tính chất, bài tập ứng dụng

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đây là kiến thức trọng tâm trong hình học lớp 9, thường dùng để chứng minh góc, tính góc và nhận biết bốn điểm đồng viên.

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn, ta nói tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Nói cách khác, chứng minh một tứ giác nội tiếp cũng là chứng minh bốn điểm đồng viên.

Tính chất tứ giác nội tiếp

Tính chất quan trọng nhất của tứ giác nội tiếp là tổng hai góc đối bằng 180 độ.

Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp, ta có góc A + góc C = 180 độ và góc B + góc D = 180 độ.

Ngoài ra, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đối diện với đỉnh đó.

Tính chấtBiểu thứcCách dùngHai góc đối bù nhauGóc A + góc C = 180 độTính gócHai góc đối còn lại bù nhauGóc B + góc D = 180 độChứng minh gócGóc ngoài bằng góc trong đối diệnGóc ngoài tại A bằng góc CBiến đổi góc

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu hay dùng nhất là chứng minh tứ giác có hai góc đối bù nhau. Khi đó, tứ giác nội tiếp được đường tròn.

Ngoài ra, nếu hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới hai góc bằng nhau, bốn điểm liên quan cũng cùng thuộc một đường tròn.

Trường hợp có hai góc vuông cùng chắn một đoạn thẳng cũng rất thường gặp trong bài lớp 9.

Dấu hiệuCần chứng minhKhi nên dùngHai góc đối bù nhauGóc A + góc C = 180 độBài có góc kề bùHai góc cùng nhìn một đoạnGóc ACB = góc ADBBài có góc bằng nhauHai góc vuông cùng chắn đoạnGóc ACB = góc ADB = 90 độBài có vuông gócBốn điểm cách đều một điểmOA = OB = OC = ODBài xác định được tâm

Cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp, trước hết hãy xác định rõ bốn đỉnh cần xét.

Sau đó, chọn dấu hiệu phù hợp với dữ kiện đề bài. Nếu có góc, dùng dấu hiệu góc. Nếu có khoảng cách, tìm tâm.

• Bước 1: Gọi tên tứ giác cần chứng minh nội tiếp.
• Bước 2: Quan sát dữ kiện về góc, vuông góc hoặc khoảng cách.
• Bước 3: Chọn một dấu hiệu nhận biết phù hợp.
• Bước 4: Trình bày lập luận và kết luận tứ giác nội tiếp.

Các dạng bài tập tứ giác nội tiếp thường gặp

Bài tập tứ giác nội tiếp thường xoay quanh ba nhóm chính. Đó là chứng minh nội tiếp, tính góc và chứng minh quan hệ hình học.

Với bài tính góc, hãy dùng tổng hai góc đối bằng 180 độ. Với bài chứng minh, hãy tìm cặp góc đối bù hoặc góc cùng nhìn một đoạn.

• Dạng 1: Chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn.
• Dạng 2: Tính số đo góc trong tứ giác nội tiếp.
• Dạng 3: Chứng minh hai góc bằng nhau bằng tính chất nội tiếp.
• Dạng 4: Kết hợp tứ giác nội tiếp với tiếp tuyến hoặc góc nội tiếp.

Ví dụ tứ giác nội tiếp có lời giải

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có góc A + góc C = 180 độ. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

Lời giải: Vì tứ giác ABCD có hai góc đối bù nhau, nên ABCD là tứ giác nội tiếp.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Biết góc A = 70 độ. Tính góc C.

Lời giải: Vì ABCD nội tiếp nên góc A + góc C = 180 độ. Suy ra góc C = 110 độ.

Ví dụ 3: Cho góc ACB = 90 độ và góc ADB = 90 độ. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải: Vì C và D cùng nhìn đoạn AB dưới góc vuông, nên A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Do đó, tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp.

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp trong hình học

Tứ giác nội tiếp là công cụ mạnh trong bài toán đường tròn. Thực tế là nhiều lời giải hình học lớp 9 bắt đầu từ việc chứng minh nội tiếp.

• Tính góc: Dùng tổng hai góc đối bằng 180 độ.
• Chứng minh góc bằng nhau: Dùng các góc cùng chắn một cung.
• Chứng minh bốn điểm đồng viên: Dùng dấu hiệu tứ giác nội tiếp.
• Giải bài tiếp tuyến: Kết hợp góc ngoài và góc nội tiếp.

Phân biệt tứ giác nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn. Đường tròn đi qua bốn đỉnh đó là đường tròn ngoại tiếp.

Hai khái niệm này đi cùng nhau. Một tứ giác nội tiếp thì luôn có đường tròn ngoại tiếp tương ứng.

Khái niệmÝ nghĩaVí dụTứ giác nội tiếpTứ giác nằm trong đường trònABCD nội tiếpĐường tròn ngoại tiếpĐường tròn đi qua các đỉnhĐường tròn qua A, B, C, DBốn điểm đồng viênBốn điểm cùng thuộc một đường trònA, B, C, D đồng viên

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có góc B + góc D = 180 độ. Chứng minh ABCD nội tiếp.

Gợi ý: Dùng dấu hiệu hai góc đối bù nhau.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Biết góc B = 105 độ. Tính góc D.

Lời giải: Vì B + D = 180 độ, nên D = 75 độ.

Bài 3: Cho góc ACB = góc ADB. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Gợi ý: Dùng dấu hiệu hai góc cùng nhìn đoạn AB.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp và góc ngoài tại A bằng 80 độ. Tính góc C.

Lời giải: Góc ngoài tại A bằng góc trong đối diện C. Vậy góc C = 80 độ.

Lỗi sai thường gặp khi học tứ giác nội tiếp

Lỗi đầu tiên là nhầm điều kiện cần và đủ. Không phải tứ giác nào cũng nội tiếp được đường tròn.

Lỗi thứ hai là chọn sai hai góc đối. Hai góc đối phải nằm ở hai đỉnh không kề nhau.

Lỗi khác là dùng tính chất tứ giác nội tiếp khi chưa chứng minh tứ giác đó nội tiếp.

Câu hỏi thường gặp

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

Tính chất quan trọng nhất của tứ giác nội tiếp là gì?

Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là gì?

Dấu hiệu thường dùng là tứ giác có hai góc đối bù nhau.

Hình chữ nhật có nội tiếp đường tròn không?

Có. Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp vì hai góc đối có tổng bằng 180 độ.

Tứ giác nội tiếp dùng để làm gì?

Tứ giác nội tiếp dùng để chứng minh góc, tính góc và chứng minh bốn điểm đồng viên.

Kết luận

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn. Đây là dạng kiến thức quan trọng trong hình học lớp 9.

Tính chất cần nhớ nhất là tổng hai góc đối bằng 180 độ. Dấu hiệu hay dùng nhất cũng là hai góc đối bù nhau.

Khi làm bài, hãy xác định bốn điểm trước. Sau đó, chọn dấu hiệu phù hợp để chứng minh nội tiếp hoặc tính góc.