Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SA=(asqrt 3 ), AB=(a) và BC=(2asqrt 2 ).a. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đá

Lời giải chi tiết:

a.

ta có (SA bot left( {ABCD} right))

=> A là hình chiếu của S lên (ABCD).

=> AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

=> Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và bằng (widehat {SCA}).

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên (AC = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3a)

(tan widehat {SCA} = dfrac{{SA}}{{AC}} = dfrac{{sqrt 3 }}{3} = > widehat {SCA} = 30^circ )

Vậy góc giữa SC và (ABCD) là (30^circ ).

b.

ta có (left{ begin{array}{l}BC bot ABBC bot SAleft( {SA bot left( {ABCD} right)} right)end{array} right.)

=>(BC bot left( {SAB} right) Rightarrow left( {SBC} right) bot left( {SAB} right))

Mà (left{ begin{array}{l}left( {SAB} right) bot left( {ABCD} right)left( {SAB} right) cap left( {SBC} right) = SBleft( {SAB} right) cap left( {ABCD} right) = ABend{array} right.)

=> Góc giữa (SBC) và (ABCD) là (widehat {SBA})

(tan widehat {SBA} = dfrac{{SA}}{{BA}} = sqrt 3 Rightarrow widehat {SBA} = 60^circ ).

Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là (60^circ ).

c.

Ta có (CD bot SA) ( do (SA bot left( {ABCD} right))).

(begin{array}{l}CD bot AD Rightarrow CD bot left( {SAD} right) Rightarrow left( {SCD} right) bot left( {SAD} right)left( {SCD} right) cap left( {SAD} right) = SDend{array})

Kẻ AH vuông góc với SD

=> (AH bot left( {SCD} right) = > AH = dleft( {A,left( {SCD} right)} right))

(begin{array}{l}dfrac{1}{{A{H^2}}} = dfrac{1}{{S{A^2}}} + dfrac{1}{{A{D^2}}} = dfrac{{11}}{{24{a^2}}} Rightarrow AH = dfrac{{2asqrt {66} }}{{11}}end{array})

Vậy (dleft( {A,left( {SCD} right)} right) = dfrac{{2asqrt {66} }}{{11}})

d.

Gọi O là giao của AC và BD, G là giao của SO và MD. Khi đó (G in MD).

Trong (SAC), qua G kẻ PI//SC với (P in SA,I in AC).

Kéo dài DI cắt AB tại Q., BC tại N. Kẻ AK vuông góc với DQ.

Kẻ AF vuông góc với PK.

Ta có PI//SC và (PI cap MD = left{ G right}) nên SC//(PMID)

(MN//SC) do MN là đường trung tuyến của tam giác SBC.

(Q in left( {PMID} right)) do (Q in DI).

=>SC//(PDP)

Ta có

(begin{array}{l}left. begin{array}{l}left{ begin{array}{l}AK bot DQPA bot DQend{array} right. Rightarrow DQ bot left( {PAK} right) Rightarrow left( {PAK} right) bot left( {PDQ} right)left( {PAK} right) cap left( {PDQ} right) = PKAF bot PKend{array} right} Rightarrow AF bot left( {PQD} right) Leftrightarrow AF = dleft( {A,left( {PQD} right)} right)end{array})

Ta có G là trọng tâm tam giác SBD nên (dfrac{{SG}}{{SO}} = dfrac{2}{3})

=> G là trọng tâm tam giác SAC vì O là trung điểm của AC.

( = > dfrac{{AP}}{{AS}} = dfrac{{AI}}{{AC}} = dfrac{2}{3})

(begin{array}{l} = > dleft( {SC,MD} right) = dleft( {SC,left( {PDQ} right)} right) = dleft( {S,left( {PQD} right)} right) = dfrac{1}{2}dleft( {A,left( {PQD} right)} right) = > dleft( {SC,MD} right) = dfrac{1}{2}AFend{array})

Ta có (dfrac{{AI}}{{AC}} = dfrac{2}{3} = > AD = 2CN)=> N là trung điểm của BC.

(begin{array}{l} = > {rm{ }}DQ = 2DN = 2.sqrt {2{a^2} + {a^2}} = 2asqrt 3 = > AQ = sqrt {12{a^2} - 8{a^2}} = 2a = > dfrac{1}{{A{K^2}}} = dfrac{1}{{A{D^2}}} + dfrac{1}{{A{Q^2}}} = dfrac{3}{{8{a^2}}} = > dfrac{1}{{A{F^2}}} = dfrac{1}{{A{K^2}}} + dfrac{1}{{A{P^2}}} = dfrac{3}{{8{a^2}}} + dfrac{1}{{{{left( {dfrac{2}{3}.asqrt 3 } right)}^2}}} = dfrac{9}{{8{a^2}}} = > AF = dfrac{{2asqrt 2 }}{3} = > dleft( {SC,MD} right) = dfrac{{asqrt 2 }}{3}end{array})