CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Phương pháp

Để tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng ta phải trang bị cho bản thân những kiến thức sau đây:

1. Thế nào là giao tuyến của hai mặt phẳng?

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chứa tất cả điểm chung của hai mặt phẳng đó.

2. Quan hệ song song trong không gian

3. Các định lý:

• Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thi ba giao tuyến áy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

⇒ Hệ quả: Nếu hai mặt căt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó song song với hai đường thẳng hoặc trùng với một trong hai đường thẳng.

• Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.

⇒ Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với mặt phẳng đó.

Nhớ rằng: Một đường thẳng được xác định khi biết hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó hoặc biết một điểm thuộc đường thẳng đó và phương của đường thẳng. Do vậy, dựa vào định nghĩa của đường giao tuyến, ta có thể xác định đường giao tuyên bằng các phương pháp sau:

• Phương pháp 1. Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Đường thẳng nối hai điểm chung đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Ví dụ 1. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Giải

Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa.

Trong mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD, lấy điểm O sao cho: O = AC ∩ BD.

Khi đó,

• O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)

• O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD).

  Do vậy O là 1 điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và(SBD).

Ví dụ 2. Cho điểm S không thuộc mặt phẳng chứa hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Giải

Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa.

Ta thấy, AB > CD. Kẻ đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại I.

Khi đó,

• I ∈ AD mà AD ⊂ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD)

• I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)

Do đó, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Vậy, SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Ví dụ 3. Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP).

Giải

Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).

Bây giờ, chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.

Khi đó,

• I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)

• I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)

Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Ví dụ 4. Cho Δ ABC nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) không song song với AB, AC. S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).

Giải

Kẻ đường thẳng AB cắt đường thẳng a tại M. Nối A’M. Khi đó,

• A’M ⊂ (A’; a) và M ∈ (A’; a).

• M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC)

Vậy M là một điểm chung của hai mặt phẳng (A’;a) và (ABC).

Kẻ đường thẳng AC cắt đường thẳng a tại N. Nối A’N. Khi đó,

• A’N ⊂ (A’; a) và N’ ∈ (A’; a).

• N ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ N ∈ (ABC)

Vậy N là một điểm chung của hạ mặt phẳng (Á’; a) và (ABC).

Do đó, MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).

Ví dụ 5. Cho tứ diện A.BCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a) (AMN) và (BCD)

b) (DMN) và (ABC)

Giải

a) Kẻ AM cắt BD tại E.

Khi đó,

• E ∈ AM mà AM ⊂ (AMN) ⇒ E ∈ (AMN)

• E ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ E ∈ (BCD)

Do đó, E là một điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD).

Kẻ AN cắt CD tại F.

Khi đó,

• F ∈ AN mà AN ⊂ (AMN) ⇒ F ∈ (AMN)

• F ∈ CD mà CD ⊂ (BCD) ⇒ F ∈ (BCD)

Do đó, F là một điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD).

Vậy, EF là giao tuyến của hi mặt phẳng (AMN) và (BCD).

b) Kẻ DM cắt AB tại P.

Khi đó,

• P ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ F ∈ (ABC)

• P ∈ DM mà DN ⊂ (DMN) ⇒ P ∈ (DMN)

Do đó, P là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN).

Kẻ DN cắt AC tại Q.

Khi đó,

• Q ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ Q ∈ (ABC)

• Q ∈ DN mà DN ⊂ (DMN) ⇒ Q ∈ (DMN)

Do đó, Q là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN).

Vậy, PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN).

Click vào đây để xem thêm bài tập:

Bài tập: Giao tuyến

Phương pháp 2.

- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.

- Nếu hai mặt phẳng cần tìm giao tuyến lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến cũng song song với hai đường thẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Trên SD lấy điểm M. Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAC).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Trên SB láy điểm N. Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAD).

Ví dụ 3. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BP lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

Ví dụ 4.