Một tam giác có độ dài 3 cạnh là 13, 14, 15. Tính diện tích của tam giác đó.

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên (widehat {ABC} + widehat {ACB} = 90^circ ) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Vì AI là phân giác của góc BAC nên (widehat {{A_1}} = frac{{widehat {BAC}}}{2} = frac{{90^circ }}{2} = 45^circ )

Vì BI là phân giác của góc ABC nên (widehat {{B_1}} = frac{{widehat {ABC}}}{2})

Vì CI là phân giác của góc ACB nên (widehat {{C_1}} = frac{{widehat {ACB}}}{2})

Gọi giao điểm của BI và AC là M.

Vì (widehat {{I_1}}) là góc ngoài của tam giác BIC

Nên (widehat {{I_1}} = widehat {{B_1}} + widehat {{C_1}} = frac{{widehat {ABC}}}{2} + frac{{widehat {ACB}}}{2} = frac{{widehat {ABC} + widehat {ACB}}}{2} = frac{{90^circ }}{2} = 45^circ )

Xét DICM và DACI có

(widehat {{A_1}} = widehat {{I_1}}left( { = 45^circ } right));

(widehat {IC{rm{A}}}) là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra (frac{{IC}}{{AC}} = frac{{CM}}{{CI}}) (tỉ số đồng dạng)

Hay CI2 = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36

Suy ra (CM = frac{{36}}{{AC}}).

Do BM là tia phân giác của (widehat {ABC}) nên ta có

(frac{{CB}}{{AB}} = frac{{CM}}{{MA}} Leftrightarrow frac{{BC}}{{BA + BC}} = frac{{CM}}{{MA + CM}} Leftrightarrow frac{{BC}}{{5 + BC}} = frac{{CM}}{{AC}})

Mà (CM = frac{{36}}{{AC}})

Suy ra (frac{{36}}{{A{C^2}}} = frac{{BC}}{{BC + 5}} Leftrightarrow frac{{36}}{{B{C^2} - A{B^2}}} = frac{{BC}}{{BC + 5}} Leftrightarrow frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = frac{{BC}}{{BC + 5}})

( Leftrightarrow frac{{36}}{{B{C^2} - 25}} = frac{{BCleft( {BC - 5} right)}}{{B{C^2} - 25}})

Suy ra BC(BC - 5) = 36

Hay BC2 - 5BC - 36 = 0

Suy ra BC = 9 (do BC > 0).

b) Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K.

Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao

Suy ra tam giác BCK cân tại B

Do đó BH là trung tuyến và BK = BC

Hay [CH = HK = frac{1}{2}CK]

Đặt BC = x

Ta có AK = BK - AB = BC - AB = x - AB

Ta có: (widehat {ABM} = widehat {HCM}) (cùng phụ với (widehat {BKC}))

Mà (widehat {ABM} = frac{1}{2}widehat {ABC}) nên (widehat {HCM} = frac{1}{2}widehat {ABC})

Ta có (widehat {HCI} = widehat {HCM} + widehat {MCI} = frac{1}{2}widehat {ABC} + frac{1}{2}widehat {ACB} = frac{1}{2}.90^circ = 45^circ )

Xét tam giác ICH vuông ở H có

(widehat {HIC} + widehat {HCI} = 90^circ ) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà (widehat {HCI} = 45^circ ) nên (widehat {HIC} = 45^circ )

Suy ra (widehat {HCI} = widehat {HIC})

Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC

Xét tam giác ICH vuông ở H có

IC2 = HI2 + HC2 (định lí Pytago)

Hay 10 = 2HI2 (do (IC = sqrt {10} ))

Suy ra [HI = HC = sqrt 5 ]

Ta có [BH = BI + IH = sqrt 5 + sqrt 5 = 2sqrt 5 ];

[CK = 2CH = 2sqrt 5 ]

Xét tam giác BCH vuông ở H có

BC2 = HB2 + HC2 (định lí Pytago)

Hay BC2 = 20 + 5

Suy ra BC = 5.

Xét tam giác BCA vuông ở A có

BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pytago)

Hay 52 = AB2 + AC2 = 25

Xét tam giác AKC vuông ở A có

KC2 = AK2 + AC2 (định lí Pytago)

⇔ 20 = (BC - AB)2 + AC2

⇔ 20 = (5 - AB)2 + AC2

⇔ 20 = 25 - 10AB + AB2 + AC2

⇔ 20 = 25 - 10AB + 25

⇔ AB = 3

Khi đó (AC = sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4)

Vậy AB = 3, AC = 4.