Lý thuyết diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Các kiến thức cần nhớ

Công thức tính diện tích hình tròn

Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức (S = pi {R^2})

Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$, cung (n^circ ) được tính theo công thức

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và các đại lượng liên quan

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính diện tích hình tròn (S = pi {R^2}) và diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung (n^circ )

(S = dfrac{{pi {R^2}n}}{{360}},,hay,,,S = dfrac{{l.{rm{R}}}}{2}) (với $l$ là độ dài cung (n^circ )của hình quạt tròn)

Dạng 2: Bài toán tổng hợp

Phương pháp:

Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kinh đường tròn. Từ đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chu vi đường tròn bán kính (R = 9) là

Lời giải

Chu vi (C = 2pi R = 2pi .9 = 18pi ).

Câu 2. Biết chu vi đường tròn là (C = 36pi (cm)). Tính đường kính của đường tròn.

Lời giải

Chu vi (C = pi d = 36pi ) suy ra ( d = 36). Vậy đường kính cần tìm là (36(cm)) .

Câu 3. Tính độ dài cung (30^circ ) của một đường tròn có bán kính (4,dm)

Lời giải

Độ dài cung tròn (l = dfrac{{pi Rn}}{{180}}, = dfrac{{pi .4.30}}{{180}} = dfrac{{2pi }}{3} (dm)).

Câu 4. Cho đường tròn $left( O right)$ bán kính $OA$ . Từ trung điểm $M$ của $OA$ vẽ dây(BC bot OA.) Biết độ dài đường tròn $left( O right)$ là (4pi ,(cm).)Độ dài cung lớn (BC) là

Lời giải

Vì độ dài đường tròn là (4pi ) nên $4pi = 2pi .R Rightarrow R = 2,cm$ ((R) là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác (ABOC) có hai đường chéo (AO bot BC) tại (M) là trung điểm mỗi đường nên tứ giác (ABOC) là hình thoi.

Suy ra (OB = OC = AB Rightarrow Delta ABO) đều ( Rightarrow widehat {AOB} = 60^circ Rightarrow widehat {BOC} = 120^circ )

Suy ra số đo cung lớn (BC) là (360^circ - 120^circ = 240^circ )

Độ dài cung lớn (BC) là (l = dfrac{{pi .2.240}}{{180}} = dfrac{{8pi }}{3},left( {cm} right).)

Câu 5. Vĩ độ của Hà Nội là (20^circ 01'), mỗi vòng kinh tuyến dài khoảng 40000km. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.

Lời giải

Độ dài mỗi vòng kinh tuyến chính là chu vi của đường tròn bán kính R là bán kính Trái Đất nên ta có:

(2pi R = 40000) suy ra (R = frac{{40000}}{{2pi }} = frac{{20000}}{pi }) (km)

Vĩ độ của Hà Nội là (20^circ 01') nên độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo chính là độ dài cung tròn có số đo:

(n^circ = 20^circ 01' = left( {20 + frac{1}{{60}}} right)^circ = frac{{1201}}{{60}}^circ ).

Áp dụng công thức tính độ dài cung, ta có:

(l = frac{{pi Rn}}{{180}} = frac{{pi .frac{{20000}}{pi }.frac{{1201}}{{60}}}}{{180}} approx 2224,07) (km)

Câu 6. Cho đường tròn $left( {O,10,cm} right)$, đường kính $AB.$. Điểm (M in (O)) sao cho (widehat {BAM} = {45^0}). Tính diện tích hình quạt $AOM$ .

Lời giải

Xét đường tròn $left( O right)$ có: (OA = OM) và (widehat {MAO} = {45^0}) nên (Delta AOM) là tam giác vuông cân.

Suy ra (widehat {MOA} = {90^0}.)

Vậy diện tích hình quạt $AOM$ là (S = dfrac{{pi {R^2}n}}{{360}} = dfrac{{pi {{.10}^2}.90}}{{360}} = 25pi (c{m^2}))

Câu 7. Cho đường tròn $left( O right)$ đường kính $AB = $ (4sqrt 3 ) $cm$ .

Điểm (C in (O)) sao cho (widehat {ABC} = {30^0}). Tính diện tích hình viên phân $AC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).

Lời giải

Xét đường tròn $(O)$ có:

(widehat {ABC}) và (widehat {AOC}) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung$AC$ ( Rightarrow widehat {AOC} = 2.widehat {ABC} = {2.30^0} = {60^0})( Rightarrow {S_{qAOC}} = dfrac{{pi {R^2}.60}}{{360}} = dfrac{{pi {R^2}}}{6})

Xét (Delta AOC) có (widehat {AOC} = {60^circ }) và $OA=OC=R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Gọi $CH$ là đường cao của tam giác $AOC$ , ta có:

(CH = CO.sin {60^0} = dfrac{{sqrt 3 }}{2}.R Rightarrow {S_{AOC}} = dfrac{1}{2}CH.OA = dfrac{1}{2}.dfrac{{sqrt 3 }}{2}.R.R = dfrac{{sqrt 3 }}{4}.{R^2}.)

Diện tích hình viên phân $AC$ là:

({S_{qAOC}} - {S_{AOC}} = dfrac{{pi {R^2}}}{6} - dfrac{{sqrt 3 }}{4}.{R^2} = left( {dfrac{pi }{6} - dfrac{{sqrt 3 }}{4}} right).{R^2} )

(= left( {dfrac{{2pi - 3sqrt 3 }}{{12}}} right).{left( {2sqrt 3 } right)^2} )

(= 2pi - 3sqrt 3 , cm^2.)

Câu 8. Cho đường tròn $left( O right)$ đường kính (AB = 2sqrt 2 ;cm). Điểm (C in (O)) sao cho (widehat {ABC} = {30^0}). Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $left( O right)$ và $AC,BC$ .

Lời giải

Diện tích hình tròn $left( O right)$ là: ({S_{(O)}} = pi {R^2})

Ta có góc (widehat {ACB}) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( Rightarrow widehat {ACB} = {90^0})( Rightarrow widehat {BAC} = {90^0} - widehat {CBA} = {90^0} - {30^0} = {60^0}.)

Tam giác $AOC$ có (widehat {CAO} = {60^circ }) và $OA = OC = R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Giả sử $CH$ là đường cao của tam giác $ABC$ , ta có:

(CH = CO.sin {60^0} = dfrac{{sqrt 3 }}{2}.R Rightarrow {S_{ABC}} = dfrac{1}{2}CH.AB)

$= dfrac{1}{2}.dfrac{{sqrt 3 }}{2}R.2R$

(= dfrac{{sqrt 3 }}{2}{R^2}.)

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $left( O right)$ và $AC,BC$ là:

$dfrac{1}{2}{S_{(O)}} - {S_{ABC}} = dfrac{1}{2}pi {R^2} - dfrac{{sqrt 3 }}{2}{R^2} = dfrac{1}{2}left( {pi - sqrt 3 } right){R^2} = dfrac{1}{2}left( {pi - sqrt 3 } right){left( {sqrt 2 } right)^2} = pi - sqrt 3 .$

Câu 9. Tại một vòng xoay ngã tư, người ta cần làm các bồn trồng hoa như hình 1. Em hãy tính phần diện tích của 1 bồn hoa ở hình 2 (phần được tô đậm). Biết rằng bán kính của vòng tròn lớn là 7m, vòng tròn nhỏ là 3m, số đo cung tròn đó là (60^circ ). (làm tròn đến hàng phần mười)

Lời giải

Diện tích hình quạt tròn lớn là: (frac{{pi {{.7}^2}.60}}{{360}} = frac{{49pi }}{6}left( {{m^2}} right))

Diện tích hình quạt tròn nhỏ là: (frac{{pi {{.3}^2}.60}}{{360}} = frac{{3pi }}{2}left( {{m^2}} right))

Diện tích phần bồn hoa là: (frac{{49pi }}{6} - frac{{3pi }}{2} = frac{{20pi }}{3} approx 20,9left( {{m^2}} right))

Câu 10. Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

Lời giải

Ta có: (88cm = 0,88m)

Chu vi bánh xe sau là: (1,672pi left( m right))

Chu vi bánh xe trước là: (0,88pi left( m right))

Khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì quãng đường đi được là:

(1,672pi .10 = 16,72pi left( m right))

Khi đó số vòng lăn của bánh trước là: (16,72pi :0,88pi = 19) (vòng)