Đề thi THPT QG chính thức - 2021 lần 1 - mã đề 101

Cách 1: Dùng phương pháp hình học ( to ) Kỹ năng dồn số phức.

* (P = left| {z + i,overline {rm{w}} - 6 - 8i} right| = left| {left( {z - 6 - 8i} right) - left( { - ioverline w } right)} right| = left| {u - v} right|).

Trong đó: (left{ begin{array}{l}u = z - 6 - 8iv = - ioverline w end{array} right.), (u) có điểm biểu diễn là (A), (v) có điểm biểu diễn là (B).

( Rightarrow P = left| {u - v} right| = AB Rightarrow ) Cần đạt Min.

* (left| z right| = 1 Leftrightarrow left| {left( {z - 6 - 8i} right) + 6 + 8i} right| = 1 Leftrightarrow left| {u + 6 + 8i} right| = 1).

( Rightarrow ) Tập hợp điểm (A) biểu diễn số phức (u) là đường tròn: (left( {{C_1}} right)): (left{ begin{array}{l}Ileft( { - 6; - 8} right){R_1} = 1end{array} right.).

* (left| w right| = 2 Leftrightarrow left| {overline w } right| = 2 Leftrightarrow left| { - i} right|.left| {overline w } right| = left| { - i} right|.2) ( Rightarrow left| { - ioverline w } right| = 2 Leftrightarrow left| v right| = 2).

( Rightarrow ) Tập hợp điểm (B) biểu diễn số phức (v) là đường tròn (left( {{C_2}} right):,,left{ begin{array}{l}Oleft( {0;0} right){R_2} = 2end{array} right.).

Có (left{ begin{array}{l}IA = {R_1} = 1OB = {R_2} = 2OI = 10end{array} right.)

( Rightarrow A{B_{min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7).

Min đạt được khi: (left{ begin{array}{l}overrightarrow {OA} = dfrac{9}{{10}}overrightarrow {OI} Rightarrow Aleft( {dfrac{{ - 27}}{5};dfrac{{ - 36}}{5}} right) Rightarrow u = - dfrac{{27}}{5} - dfrac{{36}}{5}ioverrightarrow {OB} = dfrac{1}{5}overrightarrow {OI} Rightarrow Bleft( {dfrac{{ - 6}}{5};dfrac{{ - 8}}{5}} right) Rightarrow v = - dfrac{6}{5} - dfrac{8}{5}iend{array} right.).

( Rightarrow left{ begin{array}{l}z = u + 6 + 8i = dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}i - ioverline w = v Rightarrow overline w = dfrac{v}{{ - i}} = dfrac{{ - dfrac{6}{5} - dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} = dfrac{8}{5} - dfrac{6}{5}i Rightarrow w = dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}iend{array} right.)

( Rightarrow left| {z - w} right| = left| {left( {dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}i} right) - left( {dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}i} right)} right| = dfrac{{sqrt {29} }}{5}).

Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ

Ta có BĐT cho 3 vectơ (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ,,,overrightarrow c ) thì (left| {overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c } right| ge left| {overrightarrow a } right| - left| {overrightarrow b } right| - left| {overrightarrow c } right|).

Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left| {overrightarrow a } right| ge left| {overrightarrow b } right| + left| {overrightarrow c } right|overrightarrow a = koverrightarrow b overrightarrow a = moverrightarrow c end{array} right.,,left( {k;m < 0} right)).

* Đặt (P = left| {z + i,overline {rm{w}} - 6 - 8i} right| = left| {underbrace {left( { - 6 - 8i} right)}_{ = overrightarrow a } + underbrace z_{ = overrightarrow b } + underbrace {ioverline w }_{ = overrightarrow c }} right|)

Đặt (left{ begin{array}{l}left( { - 6 - 8i} right) Leftrightarrow overrightarrow a left( { - 6; - 8} right) Rightarrow left| {overrightarrow a } right| = 10z Leftrightarrow overrightarrow b Rightarrow left| {overrightarrow b } right| = 1ioverline w Leftrightarrow overrightarrow c Rightarrow left| {overrightarrow c } right| = left| {ioverline w } right| = left| w right| = 2end{array} right.).

( Rightarrow P = left| {overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c } right| ge left| {overrightarrow a } right| - left| {overrightarrow b } right| - left| {overrightarrow c } right| = 10 - 1 - 2 = 7).

( Rightarrow {P_{min }} = 7), đạt Min khi (left{ begin{array}{l}left| {overrightarrow a } right| ge left| {overrightarrow b } right| + left| {overrightarrow c } right|,,left( {dung,,do,,10 > 1 + 2} right)overrightarrow a = - 10overrightarrow b Leftrightarrow overrightarrow b = - dfrac{1}{{10}}overrightarrow a = left( {dfrac{3}{5};dfrac{4}{5}} right)overrightarrow a = - 5overrightarrow c Leftrightarrow overrightarrow c = - dfrac{1}{5}overrightarrow a = left( {dfrac{6}{5};dfrac{8}{5}} right)end{array} right.) ( Rightarrow left{ begin{array}{l}z = dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}iioverline w = dfrac{6}{5} + dfrac{8}{5}i Leftrightarrow w = dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}iend{array} right.)

( Rightarrow left| {z - w} right| = left| {left( {dfrac{3}{5} + dfrac{4}{5}i} right) - left( {dfrac{8}{5} + dfrac{6}{5}i} right)} right| = dfrac{{sqrt {29} }}{5}).