Vi phân là gì? Công thức vi phân và giải các bài toán thường gặp

Vi phân là một nội dung mới đối với các bạn học sinh lớp 11. Vi phân của hàm số được định nghĩa như thế nào? Công thức vi phân của hàm số ra sao? Ứng dụng của vi phân là gì? Vi phân của hàm số có giống và khác gì so với đạo hàm hay không? Bạn học cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu trong bài viết dưới đây.

1. Vi phân là gì?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x ∈ (a;b). Ta gọi tích f'(x).Δx (hoặc y'.Δx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia Δx.

Kí hiệu: dy hoặc df(x).

2. Công thức vi phân của hàm số

Ta có:

dy = y'.Δx hoặc df(x) = f'(x).Δx

3. Phép tính gần đúng và ứng dụng của vi phân

Do f'(xo) =

Với |Δx| đủ nhỏ thì f'(xo) ≈ ⇔ Δy = f'(xo).Δx ⇔ f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f'(xo).Δx

*Chú ý: Với y = x ta có dy = (x)'.Δx ⇔ dx = Δx. Vậy df(x) = f'(x).dx

Ví dụ minh hoạ: Tính vi phân các hàm số sau:

a) y = f(x) = 7x2 - sinx

b) y = f(x) = cos5x - 17x - 2023

c) y = f(x) = (2x-100)sinx

d) y = f(x) =

Giải

a) y = f(x) = 7x2 - sinx

Ta có: y' = f'(x) = 14x - cosx

suy ra df(x) = (14x - cosx)dx

b) y = f(x) = cos5x - 17x - 2023

Ta có: y' = f'(x) = -5cos4x.sinx - 17

suy ra df(x) = (-5cos4x.sinx - 17)dx

c) y = f(x) = (2x-100)sinx

Ta có: y' = f'(x) = 2sinx + (2x-100)cosx

suy ra df(x) = [2sinx + (2x-100)cosx]dx

d) y = f(x) =

Ta có: y' = f'(x) =

suy ra df(x) = dx

4. Các công thức vi phân thường gặp

x.dx = d()

cosx.dx = d(sinx)

sinx.dx = -d(cosx)

dx = -d(cotx)

dx = d(tanx)

ex.dx = d(ex)

ax.dx = d(ax)

.dx = d(lnx)

.dx = -d()

cos(ax + b).dx = d(sin(ax + b))

sin(ax + b).dx = d(cos(ax + b))

5. Dạng bài tập về vi phân của hàm số lớp 11

5.1. Dạng toán 1: Tìm vi phân của hàm số

*Phương pháp giải:

• Tính vi phân của hàm số f(x) tại xo cho trước: df(xo) = f'(xo).Δx.
• Tính vi phân của hàm số f(x): df(x) = f'(x).dx.

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) = 20x2 + x, vi phân của hàm số trên tại điểm x = 1 ứng với Δx = 0,1 là

A. df(1) = -2,1

B. df(1) = 4,1

C. df(1) = 2,1

D. df(1) = -4,1

Ta có: df(x) = (20x2 + x)'.Δx

df(x) = (40x + 1).Δx

suy ra df(1) = (40.1+1).0,1 = 4,1

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) = sin3x + 3cos3x, vi phân của hàm số trên tại điểm x = ứng với Δx = 0,1 là

A. df() = -0,3

B. df() = 0,3

C. df() = -0,9

D. df() = 0,9

Ta có: y' = f'(x) = 3cos3x - 9sin3x

f'() = 3cos(3.)- 9sin(3.) = -3

suy ra df() = f'().Δx = -3.0,1 = -0,3

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) = 10sinx - x3, kết quả của df(x) bằng

A. df(x) = (10sinx - 3x2)dx

B. df(x) = (10cosx - 3x2)dx

C. df(x) = (10cosx - 3x2)

D. df(x) = (-10cosx - 3x2)dx

Ta có: y' = f'(x) = 10cosx - 3x2

suy ra: df(x) = (10cosx - 3x2)dx

Chọn đáp án B.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) = , kết quả của df(x) bằng

A. df(x) =

B. df(x) =

C. df(x) = dx

D. df(x) = dx

Ta có: y' = f'(x) =

=

suy ra: df(x) = dx

Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) = (2x+1)2023, kết quả của df(x) là

A. df(x) = -2023(2x+1)2022dx

B. df(x) = 2023(2x+1)2022dx

C. df(x) = -4046(2x+1)2022dx

D. df(x) = 4046(2x+1)2022dx

Ta có: y' = f'(x) = 2023(2x+1)2022.(2x+1)'

= 4046(2x+1)2022

suy ra df(x) = 4046(2x+1)2022dx

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hàm số y = f(x) = 2023x+1, kết quả của df(x) là

A. df(x) = 2023x+1.ln2023 dx

B. df(x) = -2023x+1.ln2023 dx

C. df(x) = 2023x+1.ln2023

D. df(x) = 2023x.ln2023 dx

Ta có: y' = f'(x) = (x+1)'.2023x+1.ln2023

= 2023x+1.ln2023

suy ra df(x) = 2023x+1.ln2023 dx

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = , kết quả của df(x) là

A. df(x) = dx

B. df(x) =

C. df(x) = dx

D. df(x) = - dx

Ta có: y' = f'(x) =

=

=

suy ra df(x) = dx

Chọn đáp án C.

5.2. Dạng toán 2: Phép tính gần đúng và ứng dụng của vi phân

Câu 8: Dùng vi phân tính gần đúng có giá trị là

A. 1,976

B. 1,9

C. 1,975

D. 1,97

Xét f(x) = thì f'(x) = . Cho xo = 8, Δx = -0,3

Theo công thức gần đúng f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f'(xo).Δx

⇒ ≈ + .(-0,3) ≈ 1,975

Chọn đáp án C.

Câu 9: Dùng vi phân tính gần đúng sin44o có giá trị là

A. 0,6

B. 0,695

C. 0,694

D. 0,69

Xét f(x) = sinx thì f'(x) = cosx với 44o = - (rad)

Có f'(x) = cosx

Chọn xo = ,Δx =

Theo công thức gần đúng f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f'(xo).Δx

⇒ sin( - ) ≈ sin + cos.() ≈ 0,695

Chọn đáp án B.

Trên đây là toàn bộ định nghĩa cũng như các công thức về vi phân của hàm số. Bên cạnh đó, chúng tôi đưa đến các dạng toán và lời giải chi tiết, cụ thể và rất dễ hiểu. Hy vọng rằng các bạn sẽ nắm chắc phần nội dung kiến thức này và làm các bài kiểm tra đạt kết quả cao.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang