Thể tích của khối tứ diện khi biết 6 cạnh bởi định thức cấp 4

Giả sử ta có một khối tứ diện, ba cạnh đi qua một đỉnh (giả sử đỉnh A) lần lượt ký hiệu là $a_1, a_2, a_3$.

Quy ước cạnh đối diện với $a_3, a_2, a_1$ lần lượt là $a_4, a_5, a_6$.

Lưu ý ba cạnh $a_1, a_4, a_5$; $quad a_2, a_4, a_6$; $quad a_3, a_5, a_6$ cùng đi qua một đỉnh (liệt kê tuân theo thứ tự, cố gắng nhớ thứ tự này) .

Ta ký hiệu $A_i=a_i^2quad (i=1,2,3,4,5,6)$.

Ta xây dựng định thức cấp 4 sau đây, người ta gọi nó là định thức Caylay-Menger.

Để dễ nhớ chúng tôi viết tuần tự:

$$left|begin{array}{cccc}1 &1&1&1 A_1&bullet&bullet&bullet A_2&bullet&bullet&bullet A_3&bullet&bullet&bulletend{array}right|rightarrow left|begin{array}{cccc}1 &1&1&1 A_1&-A_1&bullet&bullet A_2&bullet&-A_2&bullet A_3&bullet&bullet&-A_3end{array}right|rightarrow left|begin{array}{cccc}1 &1&1&1 A_1&-A_1&bullet&bullet A_2&A_4-A_1&-A_2&bullet A_3&A_5-A_1&bullet&-A_3end{array}right|$$

Nhớ lại nhận xét về $a_1, a_4, a_5$. $$rightarrow left|begin{array}{cccc}1 &1&1&1 A_1&-A_1&A_4-A_2&bullet A_2&A_4-A_1&-A_2&bullet A_3&A_5-A_1&A_6-A_2&-A_3end{array}right|$$ Nhớ lại nhận xét về $a_2, a_4, a_6$.

Cuối cùng nhớ lại nhận xét về $a_3, a_5, a_6$.$$D=left|begin{array}{cccc}1 &1&1&1 A_1&-A_1&A_4-A_2&A_5-A_3 A_2&A_4-A_1&-A_2& A_6-A_3 A_3&A_5-A_1&A_6-A_2&-A_3end{array}right|$$

Định thức này là một số âm và thể tích của khối tứ diện: $$color{blue}{V=sqrt{dfrac{D}{-288}}}$$

Định thức Caylay-Menger (gốc) là một số dương và là định thức cấp 5 (khá dễ nhớ, nhưng vì máy tính Casio fx-880BTG chỉ tính được định thức cấp 4 nên chúng tôi phải thay thế, khó nhớ hơn một chút).

Áp dụng Cho khối tứ diện ABCD có ${color{blue} {AB=5}}, CD=sqrt{10}, {color{blue} {AC=2sqrt2}}, BD=3sqrt3, BC=sqrt{13}, {color{blue}{AD=sqrt{22}}}$. Tính thể tích của khối tứ diện đã cho

Mở một ma trận A cấp 4, nhìn vào hình không gian nhập tuần tự như hình vẽ dưới đây:

Cuối cùng lộ diện ma trận A:

Và thể tích của khối tứ diện:

Nhận xét: Máy tính Casio fx-9860 tính được định thức cấp 5, tuy nhiên nhập vào ma trận cấp 4 sẽ nhanh hơn nhập vào ma trận cấp 5. Ngoài cách nhập trực tiếp ma trận A như trên (hơi khó nhớ) ta có nhập ma trận B và ma trận C như sau (riêng ma trận C chúng tôi nhập tuần tự cho dễ thực hiện): $$B=left(begin{array}{cccc} 1&1&1&1 A_1&-A_1&-A_2&-A_3 A_2&-A_1&-A_2&-A_3 A_3&-A_1&-A_2&-A_3 end{array}right)$$

$$left(begin{array}{cccc} 0&0&0&0 0&0&bullet&bullet 0&bullet&0&bullet 0&bullet&bullet&0 end{array}right)rightarrow C=left(begin{array}{cccc} 0&0&0&0 0&0&A_4&A_5 0&A_4&0&A_6 0&A_5&A_6&0 end{array}right)$$

Nhớ đặt bộ ba $A_4, A_5, A_6$ vào đúng chỗ. Lúc bấy giờ lấy $B+C$ ta được $A$. Cách này có thể thiết lập A nhanh hơn.