Công thức tính đường cao trong tam giác vuông: Cách tính chi tiết

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông là kiến thức trọng tâm trong chương trình Hình học lớp 9, được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán hệ thức lượng, tính diện tích và nhiều dạng bài thi quan trọng. Nắm vững cách tính đường cao trong tam giác vuông sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết dưới đây tổng hợp đầy đủ công thức, phương pháp và các bài tập tính đường cao trong tam giác vuông có lời giải chi tiết.

1. Đường cao trong tam giác vuông là gì?

Đường cao trong tam giác vuông là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh vuông góc xuống cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện).

Xét tam giác (ABC) vuông tại (A) ((hat{A} = 90°)), có:

• Cạnh huyền: (BC = a)
• Hai cạnh góc vuông: (AB = c), (AC = b)
• Đường cao hạ từ (A) xuống cạnh huyền (BC): (AH = h) (với (H) là chân đường cao)

Đặc điểm quan trọng của đường cao trong tam giác vuông:

Đường cao Đặc điểm Đường cao từ đỉnh góc vuông (A) đến cạnh huyền (BC) Nằm bên trong tam giác, đây là đường cao quan trọng nhất, chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ đồng dạng Đường cao từ đỉnh (B) đến cạnh (AC) Chính là cạnh (AB) (vì (hat{A} = 90°), (AB perp AC)) Đường cao từ đỉnh (C) đến cạnh (AB) Chính là cạnh (AC) (vì (hat{A} = 90°), (AC perp AB))

Nhận xét: Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông đồng thời là hai đường cao. Đường cao thứ ba (từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền) là đường cao đặc biệt nhất, tạo ra nhiều hệ thức lượng quan trọng.

Khi đề bài yêu cầu tính đường cao tam giác vuông, thường là yêu cầu tính đường cao (AH) hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền. Hãy cùng tìm hiểu các công thức tính ngay dưới đây.

2. Các ký hiệu quy ước

Để thống nhất trong toàn bài, ta sử dụng các ký hiệu sau cho tam giác (ABC) vuông tại (A):

Ký hiệu Ý nghĩa (a = BC) Cạnh huyền (cạnh lớn nhất, đối diện góc vuông) (b = AC) Cạnh góc vuông (c = AB) Cạnh góc vuông (h = AH) Đường cao hạ từ đỉnh góc vuông (A) đến cạnh huyền (BC) (b’ = BH) Hình chiếu của cạnh (AB) lên cạnh huyền (c’ = CH) Hình chiếu của cạnh (AC) lên cạnh huyền (S) Diện tích tam giác

Lưu ý: (b’ + c’ = a) (hai hình chiếu cộng lại bằng cạnh huyền).

3. Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Dưới đây là tổng hợp tất cả các công thức tính đường cao trong tam giác vuông mà bạn cần ghi nhớ.

3.1. Công thức 1: Dùng diện tích (phổ biến nhất)

Đây là công thức tính đường cao được sử dụng rộng rãi nhất vì dễ nhớ và áp dụng được cho mọi trường hợp.

Diện tích tam giác vuông tính theo hai cạnh góc vuông:

[S = frac{1}{2} times b times c]

Diện tích tam giác cũng được tính theo cạnh huyền và đường cao:

[S = frac{1}{2} times a times h]

Hai biểu thức bằng nhau, suy ra công thức đường cao trong tam giác vuông:

[frac{1}{2} times a times h = frac{1}{2} times b times c]

[boxed{h = frac{b times c}{a}}]

Phát biểu bằng lời: Đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích hai cạnh góc vuông chia cho cạnh huyền.

Đây là công thức tính đường cao tam giác vuông quan trọng nhất, bạn cần ghi nhớ kỹ.

3.2. Công thức 2: Dùng hệ thức lượng (tích hai hình chiếu)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường cao (h) hạ từ đỉnh góc vuông có quan hệ với hai hình chiếu (b’) và (c’):

[boxed{h^2 = b’ times c’}]

hay:

[boxed{h = sqrt{b’ times c’}}]

Phát biểu bằng lời: Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

3.3. Công thức 3: Dùng nghịch đảo bình phương

Từ công thức ở mục 3.1 kết hợp định lý Pythagore, ta có công thức đường cao tam giác vuông dạng nghịch đảo:

[boxed{frac{1}{h^2} = frac{1}{b^2} + frac{1}{c^2}}]

Từ đó suy ra:

[h = frac{b times c}{sqrt{b^2 + c^2}}]

Công thức này hữu ích khi chỉ biết hai cạnh góc vuông mà không biết cạnh huyền.

3.4. Công thức 4: Dùng diện tích với công thức Heron

Khi biết cả ba cạnh (a, b, c), ta tính diện tích bằng công thức Heron rồi suy ra đường cao. Cách tính đường cao tam giác vuông theo Heron:

Nửa chu vi: (p = frac{a + b + c}{2})

[S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}]

[h = frac{2S}{a}]

Lưu ý: Với tam giác vuông, cách này thường không cần thiết vì công thức (h = frac{b times c}{a}) đơn giản hơn nhiều. Tuy nhiên, công thức Heron hữu ích cho tam giác bất kỳ.

3.5. Công thức 5: Dùng lượng giác

Cách tính đường cao trong tam giác vuông bằng hàm lượng giác khi biết một cạnh và một góc nhọn:

Dữ kiện đã biết Công thức đường cao Cạnh huyền (a) và góc (hat{B}) (h = a times sin hat{B} times cos hat{B} = frac{a times sin 2hat{B}}{2}) Cạnh góc vuông (b) và góc (hat{B}) (h = b times sin hat{B}) Cạnh góc vuông (c) và góc (hat{C}) (h = c times sin hat{C}) Cạnh góc vuông (c) và góc (hat{B}) (h = c times cos hat{B})

Giải thích: Trong tam giác vuông (ABH) (vuông tại (H)):

• (sin hat{B} = frac{AH}{AB} = frac{h}{c} Rightarrow h = c times sin hat{B})
• (cos hat{B} = frac{BH}{AB} Rightarrow BH = c times cos hat{B})

4. Bảng tổng hợp công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả công thức tính đường cao của tam giác vuông để bạn tiện tra cứu.

STT Công thức Dữ kiện cần biết Ghi chú 1 (h = frac{b times c}{a}) Hai cạnh góc vuông (b, c) và cạnh huyền (a) Hay dùng nhất 2 (h = frac{b times c}{sqrt{b^2 + c^2}}) Chỉ cần hai cạnh góc vuông (b, c) Kết hợp Pythagore 3 (h = sqrt{b’ times c’}) Hai hình chiếu (b’, c’) Hệ thức lượng 4 (frac{1}{h^2} = frac{1}{b^2} + frac{1}{c^2}) Hai cạnh góc vuông (b, c) Dạng nghịch đảo 5 (h = frac{2S}{a}) Diện tích (S) và cạnh huyền (a) Dùng khi biết diện tích 6 (h = c times sin hat{B}) Cạnh (c) và góc (hat{B}) Dùng lượng giác 7 (h = b times sin hat{C}) hay (h = b times cos hat{B}) Cạnh (b) và một góc nhọn Dùng lượng giác 8 (h = frac{a sin 2hat{B}}{2}) Cạnh huyền (a) và góc (hat{B}) Dùng góc đôi

5. Các hệ thức lượng liên quan đến đường cao

Khi tính đường cao của tam giác vuông, bạn thường cần sử dụng kết hợp các hệ thức lượng khác trong tam giác vuông. Dưới đây là hệ thống đầy đủ.

5.1. Hệ thức giữa cạnh và hình chiếu

Hệ thức Công thức Phát biểu Hệ thức 1 (b^2 = a times b’) Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và hình chiếu cạnh đó Hệ thức 2 (c^2 = a times c’) Tương tự cho cạnh góc vuông còn lại Hệ thức 3 (h^2 = b’ times c’) Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu Hệ thức 4 (b times c = a times h) Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đường cao Pythagore (a^2 = b^2 + c^2) Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

5.2. Mối liên hệ giữa các đại lượng

Từ hệ thức 4: (b times c = a times h), ta suy ra:

• Tính đường cao: (h = frac{b times c}{a})
• Tính cạnh góc vuông: (b = frac{a times h}{c}) hoặc (c = frac{a times h}{b})
• Tính cạnh huyền: (a = frac{b times c}{h})

Tất cả các hệ thức này đều xoay quanh đường cao trong tam giác vuông, giúp ta giải được bài toán khi biết bất kỳ hai đại lượng nào.

6. Cách chọn công thức phù hợp

Khi gặp bài toán tính chiều cao tam giác vuông, hãy xác định dữ kiện đã cho rồi chọn công thức tương ứng:

Dữ kiện đề bài cho Công thức nên dùng Biết cả ba cạnh (a, b, c) (h = frac{b times c}{a}) Biết hai cạnh góc vuông (b, c) Tính (a = sqrt{b^2 + c^2}), rồi (h = frac{b times c}{a}) Biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền Tính cạnh còn lại bằng Pythagore, rồi (h = frac{b times c}{a}) Biết hai hình chiếu (b’, c’) (h = sqrt{b’ times c’}) Biết diện tích và cạnh huyền (h = frac{2S}{a}) Biết một cạnh và một góc nhọn Dùng công thức lượng giác

7. Ví dụ minh họa chi tiết

Dưới đây là các ví dụ giúp bạn hiểu rõ cách tính đường cao trong tam giác vuông theo từng trường hợp.

Ví dụ 1: Biết hai cạnh góc vuông

Tính đường cao trong tam giác vuông (ABC) vuông tại (A), biết (AB = 6) cm, (AC = 8) cm.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh huyền bằng định lý Pythagore:

[BC = sqrt{AB^2 + AC^2} = sqrt{6^2 + 8^2} = sqrt{36 + 64} = sqrt{100} = 10 text{ (cm)}]

Bước 2: Áp dụng công thức tính đường cao tam giác vuông:

[h = frac{AB times AC}{BC} = frac{6 times 8}{10} = frac{48}{10} = 4{,}8 text{ (cm)}]

Đáp số: Đường cao (AH = 4{,}8) cm.

Ví dụ 2: Biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền

Tính đường cao tam giác vuông (ABC) vuông tại (A), biết (AB = 5) cm, (BC = 13) cm.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh góc vuông còn lại:

[AC = sqrt{BC^2 - AB^2} = sqrt{13^2 - 5^2} = sqrt{169 - 25} = sqrt{144} = 12 text{ (cm)}]

Bước 2: Tính đường cao:

[h = frac{AB times AC}{BC} = frac{5 times 12}{13} = frac{60}{13} approx 4{,}62 text{ (cm)}]

Đáp số: (AH = frac{60}{13} approx 4{,}62) cm.

Ví dụ 3: Biết hai hình chiếu

Tính chiều cao trong tam giác vuông, biết hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền là (BH = 4) cm và (CH = 9) cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:

[h = sqrt{BH times CH} = sqrt{4 times 9} = sqrt{36} = 6 text{ (cm)}]

Đáp số: (AH = 6) cm.

Mở rộng: Từ đây ta có thể tính tiếp:

• Cạnh huyền: (BC = BH + CH = 4 + 9 = 13) cm.
• Cạnh (AB = sqrt{BC times BH} = sqrt{13 times 4} = sqrt{52} = 2sqrt{13}) cm.
• Cạnh (AC = sqrt{BC times CH} = sqrt{13 times 9} = 3sqrt{13}) cm.

Ví dụ 4: Dùng lượng giác

Tính đường cao của tam giác vuông (ABC) vuông tại (A), biết (BC = 10) cm, (hat{B} = 30°).

Lời giải:

Cách 1 - Dùng lượng giác trực tiếp:

[h = frac{a times sin 2hat{B}}{2} = frac{10 times sin 60°}{2} = frac{10 times frac{sqrt{3}}{2}}{2} = frac{5sqrt{3}}{2} approx 4{,}33 text{ (cm)}]

Cách 2 - Tính từng cạnh rồi áp dụng công thức:

• (AB = BC times cos hat{B} = 10 times cos 30° = 10 times frac{sqrt{3}}{2} = 5sqrt{3})
• (AC = BC times sin hat{B} = 10 times sin 30° = 10 times frac{1}{2} = 5)
• (h = frac{AB times AC}{BC} = frac{5sqrt{3} times 5}{10} = frac{25sqrt{3}}{10} = frac{5sqrt{3}}{2} approx 4{,}33) cm.

Đáp số: (AH = frac{5sqrt{3}}{2} approx 4{,}33) cm.

8. Bài tập tính đường cao trong tam giác vuông có lời giải

Dưới đây là các bài tập tính đường cao trong tam giác vuông đa dạng, kèm lời giải chi tiết.

Bài tập 1 - Cơ bản

Tam giác (ABC) vuông tại (A), có (AB = 9) cm, (AC = 12) cm. Tính đường cao (AH) (với (H in BC)).

Lời giải:

Cạnh huyền: (BC = sqrt{9^2 + 12^2} = sqrt{81 + 144} = sqrt{225} = 15) cm.

Đường cao:

[AH = frac{AB times AC}{BC} = frac{9 times 12}{15} = frac{108}{15} = 7{,}2 text{ (cm)}]

Đáp số: (AH = 7{,}2) cm.

Bài tập 2 - Tìm hình chiếu và đường cao

Tam giác (ABC) vuông tại (A), (AB = 3) cm, (AC = 4) cm. Đường cao (AH) ((H in BC)). Tính (AH), (BH), (CH).

Lời giải:

Cạnh huyền: (BC = sqrt{9 + 16} = 5) cm.

Tính đường cao:

[AH = frac{3 times 4}{5} = frac{12}{5} = 2{,}4 text{ (cm)}]

Tính hình chiếu:

[BH = frac{AB^2}{BC} = frac{9}{5} = 1{,}8 text{ (cm)}]

[CH = frac{AC^2}{BC} = frac{16}{5} = 3{,}2 text{ (cm)}]

Kiểm tra:

• (BH + CH = 1{,}8 + 3{,}2 = 5 = BC) ✓
• (AH^2 = 2{,}4^2 = 5{,}76) và (BH times CH = 1{,}8 times 3{,}2 = 5{,}76) ✓

Bài tập 3 - Biết hình chiếu

Tính chiều cao tam giác vuông biết hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền lần lượt là (3) cm và (12) cm.

Lời giải:

[h = sqrt{b’ times c’} = sqrt{3 times 12} = sqrt{36} = 6 text{ (cm)}]

Đáp số: (h = 6) cm.

Bài tập 4 - Biết diện tích

Tam giác vuông có cạnh huyền (13) cm, diện tích (30) cm². Tính đường cao hạ từ đỉnh góc vuông.

Lời giải:

[h = frac{2S}{a} = frac{2 times 30}{13} = frac{60}{13} approx 4{,}62 text{ (cm)}]

Đáp số: (h = frac{60}{13} approx 4{,}62) cm.

Bài tập 5 - Biết cạnh huyền và đường cao

Tam giác vuông có cạnh huyền (10) cm, đường cao ứng với cạnh huyền bằng (4{,}8) cm. Tính hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Ta có: (a = 10), (h = 4{,}8).

Từ (h = frac{b times c}{a}): (b times c = a times h = 10 times 4{,}8 = 48).

Từ Pythagore: (b^2 + c^2 = a^2 = 100).

Ta có hệ phương trình:

[begin{cases} b times c = 48 b^2 + c^2 = 100 end{cases}]

Nhận xét: ((b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 100 + 96 = 196 Rightarrow b + c = 14).

Và: ((b - c)^2 = b^2 + c^2 - 2bc = 100 - 96 = 4 Rightarrow |b - c| = 2).

Giải hệ: (begin{cases} b + c = 14 b - c = 2 end{cases} Rightarrow b = 8,; c = 6).

Đáp số: Hai cạnh góc vuông là (6) cm và (8) cm.

Kiểm tra: (h = frac{6 times 8}{10} = 4{,}8) ✓

Bài tập 6 - Dùng lượng giác

Tam giác (ABC) vuông tại (A), (hat{B} = 40°), (AB = 12) cm. Tính đường cao (AH).

Lời giải:

Trong tam giác vuông (ABH) (vuông tại (H)):

[AH = AB times sin hat{B} = 12 times sin 40° approx 12 times 0{,}6428 approx 7{,}71 text{ (cm)}]

Đáp số: (AH approx 7{,}71) cm.

Bài tập 7 - Tam giác vuông cân

Tính chiều cao trong tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng (10) cm.

Lời giải:

Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau: (b = c).

Theo Pythagore: (b^2 + b^2 = 10^2 Rightarrow 2b^2 = 100 Rightarrow b = 5sqrt{2}).

Đường cao:

[h = frac{b times c}{a} = frac{5sqrt{2} times 5sqrt{2}}{10} = frac{50}{10} = 5 text{ (cm)}]

Nhận xét: Trong tam giác vuông cân, đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền: (h = frac{a}{2}).

Đáp số: (h = 5) cm.

Bài tập 8 - Bài toán ngược: Biết đường cao, tìm cạnh

Tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền bằng (6) cm, một hình chiếu bằng (4) cm. Tính các cạnh tam giác.

Lời giải:

Cho: (h = 6), (b’ = 4).

Từ (h^2 = b’ times c’):

[36 = 4 times c’ Rightarrow c’ = 9]

Cạnh huyền: (a = b’ + c’ = 4 + 9 = 13).

Hai cạnh góc vuông:

[b = sqrt{a times b’} = sqrt{13 times 4} = sqrt{52} = 2sqrt{13} approx 7{,}21 text{ (cm)}]

[c = sqrt{a times c’} = sqrt{13 times 9} = sqrt{117} = 3sqrt{13} approx 10{,}82 text{ (cm)}]

Kiểm tra: (h = frac{b times c}{a} = frac{2sqrt{13} times 3sqrt{13}}{13} = frac{6 times 13}{13} = 6) ✓

Bài tập 9 - Bài toán thực tế

Một cái thang dài (5) m dựa vào tường, chân thang cách chân tường (3) m. Tính khoảng cách từ chân tường đến đường thẳng nối đầu thang với chân thang (tức là tính đường cao của tam giác vuông tạo bởi thang, tường và mặt đất).

Lời giải:

Gọi tam giác vuông tạo bởi thang (cạnh huyền), tường và mặt đất.

• Cạnh huyền (thang): (a = 5) m.
• Khoảng cách chân thang đến tường (mặt đất): (c = 3) m.
• Chiều cao thang chạm tường: (b = sqrt{5^2 - 3^2} = sqrt{25 - 9} = 4) m.

Tính chiều cao tam giác vuông (khoảng cách từ góc vuông đến cạnh huyền):

[h = frac{b times c}{a} = frac{4 times 3}{5} = frac{12}{5} = 2{,}4 text{ (m)}]

Đáp số: Khoảng cách cần tìm là (2{,}4) m.

Bài tập 10 - Nâng cao: Tính đường cao khi biết đường trung tuyến

Tam giác (ABC) vuông tại (A). Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (AM = 5) cm, (AB = 6) cm. Tính đường cao (AH).

Lời giải:

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: (AM = frac{BC}{2}).

[BC = 2 times AM = 2 times 5 = 10 text{ (cm)}]

Tính (AC):

[AC = sqrt{BC^2 - AB^2} = sqrt{100 - 36} = sqrt{64} = 8 text{ (cm)}]

Đường cao:

[AH = frac{AB times AC}{BC} = frac{6 times 8}{10} = 4{,}8 text{ (cm)}]

Đáp số: (AH = 4{,}8) cm.

9. Bài tập tự luyện

Hãy tự giải các bài tập tính đường cao tam giác vuông sau:

1. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông (7) cm và (24) cm. Tính đường cao hạ từ đỉnh góc vuông.
2. Tam giác vuông có cạnh huyền (17) cm, một cạnh góc vuông (8) cm. Tính đường cao.
3. Hai hình chiếu của cạnh góc vuông lên cạnh huyền là (2) cm và (8) cm. Tính chiều cao tam giác vuông.
4. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông (6) cm. Tính đường cao ứng với cạnh huyền.
5. Tam giác vuông có diện tích (60) cm², cạnh huyền (17) cm. Tính đường cao ứng với cạnh huyền.

Đáp án:

1. Cạnh huyền (= 25) cm. (h = frac{7 times 24}{25} = frac{168}{25} = 6{,}72) cm.
2. Cạnh còn lại (= sqrt{17^2 - 8^2} = 15) cm. (h = frac{8 times 15}{17} = frac{120}{17} approx 7{,}06) cm.
3. (h = sqrt{2 times 8} = sqrt{16} = 4) cm.
4. Cạnh huyền (= 6sqrt{2}). (h = frac{6 times 6}{6sqrt{2}} = frac{36}{6sqrt{2}} = frac{6}{sqrt{2}} = 3sqrt{2} approx 4{,}24) cm.
5. (h = frac{2 times 60}{17} = frac{120}{17} approx 7{,}06) cm.

10. Những sai lầm thường gặp

Khi cách tính đường cao tam giác vuông, học sinh hay mắc các lỗi sau:

Sai lầm Ví dụ sai Cách khắc phục Nhầm cạnh huyền với cạnh góc vuông trong công thức Viết (h = frac{a times b}{c}) (nhầm vị trí cạnh huyền) Nhớ: mẫu số luôn là cạnh huyền (cạnh lớn nhất) Quên tính cạnh huyền bằng Pythagore Áp dụng công thức khi chỉ biết 2 cạnh góc vuông mà chưa tính cạnh huyền Luôn tính (a = sqrt{b^2 + c^2}) trước Nhầm đường cao với cạnh góc vuông Cho rằng cạnh (AB) chính là đường cao cần tìm Phân biệt: đường cao cần tìm thường là (AH) (từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền) Nhầm hình chiếu Gán sai (b’) và (c’) cho các cạnh (b’ = BH) là hình chiếu của (AB), (c’ = CH) là hình chiếu của (AC)

11. Kết luận

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông quan trọng nhất cần ghi nhớ là (h = frac{b times c}{a}) - đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông chia cho cạnh huyền. Bên cạnh đó, công thức (h = sqrt{b’ times c’}) (căn bậc hai của tích hai hình chiếu) và công thức dùng diện tích (h = frac{2S}{a}) cũng rất hữu ích tùy theo dữ kiện đề bài. Chìa khóa để tính đường cao tam giác vuông thành thạo là xác định đúng các yếu tố đã biết, chọn công thức phù hợp và cẩn thận phân biệt cạnh huyền với cạnh góc vuông. Hãy luyện tập đều đặn với các bài tập trên để tự tin giải quyết mọi dạng bài toán về đường cao trong tam giác vuông. Chúc bạn học tốt!