Bất phương trình bậc hai và cách giải (hay, chi tiết)

Với loạt Bất phương trình bậc hai và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Bất phương trình bậc hai và cách giải

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

1. Lý thuyết

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2+bx+c<0 (hoặc ax2+bx+c>0; ax2+bx+c≤0; ax2+bx+c≥0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

- Giải bất phương trình bậc hai ax2+bx+c<0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x)=ax2+bx+c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).

2. Các dạng toán

Dạng 3.1: Dấu của tam thức bậc hai

a. Phương pháp giải:

- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c . Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với a#0 .

- Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho f(x)=ax2+bx+c (a#0), Δ=b2−4ac .

Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x∈ℝ .

Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x=−b2a .

Nếu Δ>0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x<x1 hoặc x>x2 , trái dấu với hệ số a khi x1<x<x2 trong đó x1,x2(x1<x2) là hai nghiệm của f(x).

Lưu ý: Có thể thay biệt thức Δ=b2−4ac bằng biệt thức thu gọn Δ'=(b')2−ac .

Ta có bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a#0) trong các trường hợp như sau:

Δ<0 :

x

−∞ +∞

f(x)

Cùng dấu với a

Δ=0 :

x

−∞ −b2a +∞

f(x)

Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

Δ>0 :

x

−∞ x1 x2 +∞

f(x)

Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Minh họa bằng đồ thị

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức fx=−x2−4x+5

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x=1, x=-5 và hệ số a = -1 < 0 nên:

f(x) > 0 khi x∈(−5;1) ; f(x) < 0 khi x∈(−∞;−5)∪(1;+∞) .

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức fx=3x2−10x+34x−5 .

Lời giải:

Ta có: 3x2−10x+3=0⇔x=3x=13 và 4x−5=0⇔x=54.

Lập bảng xét dấu:

x −∞ 13 54 3 +∞ 3x2−10x+3 + 0 - | - 0 + 4x-5 - | - 0 + | + f(x) - 0 + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

fx≤0⇔x∈− ∞;13∪54;3 ; fx≥0⇔x∈13;54∪3;+∞ .

Dạng 3.2: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

a. Phương pháp giải:

Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

Ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: a = 0 (nếu có).

+) Trường hợp 2: a#0, ta có:

Bước 1: Tính Δ (hoặc Δ')

Bước 2: Dựa vào dấu của Δ (hoặc Δ') và a, ta biện luận số nghiệm của bất phương trình

Bước 3: Kết luận.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình x2+2x+6m>0.

Lời giải:

Đặt f(x)=x2+2x+6m

Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu Δ'<0⇔m>16⇒f(x)>0 ∀x∈ℝ .

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ .

+) Trường hợp 2: Nếu Δ'=0⇔m=16⇒f(x)>0 ∀x∈ℝ{-1}.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là S=ℝ{-1} .

+) Trường hợp 3: Nếu Δ'>0⇔m<16 .

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−1−1−6m ; x2=−1+1−6m ( dễ thấy x1<x2 ) ⇒f(x)>0 khi​ x<x1 hoặc x>x2. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S=−∞;x1∪x2;+∞ .

Vậy:

Với m>16 tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ .

Với m=16 tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ{-1} .

Với m<16 tập nghiệm của bất phương trình là S=−∞;x1∪x2;+∞ với x1=−1−1−6m, x2=−1+1−6m.

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình 12x2 +2m+3x+m≤0.

Lời giải:

Đặt f(x)=12x2 +2m+3x+m, ta có a = 12 và Δ'=(m−3)2≥0

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu Δ'=0⇔m=3 , suy ra f(x)≥0 ∀x∈ℝ . Do đó, nghiệm của bất phương trình là x=−b2a=−12 .

+) Trường hợp 2: Nếu Δ'>0⇔m≠3 , suy ra f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−12;x2=−m6

Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu x1<x2⇔m<3

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S=−12;−m6

Khả năng 2: Nếu x1>x2⇔m>3

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S=−m6;−12

Vậy: Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−12 .

Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−12;−m6 .

Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−m6;−12 .

Dạng 3.3: Bất phương trình chứa căn thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

+) f(x)≤g(x)⇔f(x)≥0g(x)≥0f(x)≤g2(x)

+) f(x)≥g(x)⇔g(x)<0f(x)≥0g(x)≥0f(x)≥g2(x)

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình x2+2≤x−1 .

Lời giải:

Ta có x2+2≤x−1⇔x−1≥0x2+2≥0x2+2≤x2−2x+1

⇔x≥12x≤−1⇔x≥1x≤−12 (vô lý).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2−2x−15>2x+5 .

Lời giải:

Ta có: x2−2x−15>2x+5⇔x2−2x−15≥02x+5<02x+5≥0x2−2x−15>2x+52

⇔x≤−3x≥5x<−52x≥−523x2+22x+40<0⇔x≤−3x≥−52−4<x<−103⇔x≤−3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=−∞;  −3 .

3. Bài tập tự luyện

3.1 Tự luận

Câu 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2x2−3x−15≤0

Lời giải:

Xét fx=2x2−3x−15 .

fx=0⇔x=3±1294 .

Ta có bảng xét dấu:

x −∞ 3−1294 3+1294 +∞ f(x) + 0 - 0 +

Tập nghiệm của bất phương trình là S=3−1294; 3+1294 .

Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là: -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Câu 2: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4 .

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 2 và hệ số a = 1 > 0 nên:

f(x) < 0 khi x∈(−2;2) ; f(x) > 0 khi x∈(−∞;−2)∪(2;+∞).

Câu 3: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4x+4.

Lời giải:

x2−4x+4=0⇔x=2 . Ta có bảng xét dấu:

x −∞ 2 +∞ x2−4x+4 + 0 +

Vậy f(x) > 0 với ∀x∈ℝ{2} .

Câu 4: Giải bất phương trình xx+5≤2x2+2.

Lời giải:

Bất phương trình xx+5≤2x2+2⇔x2+5x≤2x2+4⇔x2−5x+4≥0

Xét phương trình x2−5x+4=0⇔x−1x−4=0⇔x=1x=4.

Lập bảng xét dấu:

x − ∞ 1 4 + ∞ x2−5x+4 + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2−5x+4≥0⇔x∈− ∞;1∪4;+ ∞.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn x+3x2−4−1x+2<2x2x−x2 ?

Lời giải:

Điều kiện: x2−4≠0x+2≠02x−x2≠0⇔x≠0x≠± 2.

Bất phương trình:

x+3x2−4−1x+2<2x2x−x2⇔x+3x2−4−1x+2+2xx2−2x<0⇔2x+9x2−4<0.

Bảng xét dấu:

x −∞ − 92 -2 2 +∞ 2x+9 - 0 + | + | + x2−4 + | + 0 - 0 + f(x) - 0 + || - || +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2x+9x2−4<0⇔x∈− ∞;−92∪− 2;2.

Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.

Câu 6: Tìm các giá trị của m để biểu thức f(x)=x2+(m+1)x+2m+7>0  ∀x∈ℝ .

Lời giải:

Ta có: fx>0,∀x∈ℝ⇔a>0Δ<0⇔1>0m+12−42m+7<0

⇔m2−6m−27<0⇔−3<m<9 .

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: m+1x2−2m+1x+4≥0 (1) có tập nghiệm S=R ?

Lời giải:

+) Trường hợp 1: m+1=0⇔m=−1

Bất phương trình (1) trở thành 4≥0 ∀x∈R ( Luôn đúng) (*)

+) Trường hợp 2: m+1≠0⇔m≠−1

Bất phương trình (1) có tập nghiệm S=R

⇔a>0Δ'≤0⇔m+1>0Δ'=m2−2m−3≤0⇔−1<m≤3**

Từ (*) và (**) ta suy ra với −1≤m≤3 thì bất phương trình có tập nghiệm S=R.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn fx=−x2+2x+m−2018<0 , ∀x∈ℝ .

Lời giải:

Vì tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = -1 < 0 nên fx<0 ,  ∀x∈ℝ khi và chỉ khi Δ'<0⇔1−−1m−2018<0⇔m−2017<0⇔m<2017.

Câu 9: Bất phương trình 2x−1≤2x−3 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7)?

Lời giải:

Ta có: 2x−1≤2x−3⇔2x−1≥02x−3≥02x−1≤2x−32

⇔x≥12x≥324x2−14x+10≥0

⇔x≥32x≤1x≥52⇔x≥52

Kết hợp điều kiện: x∈0;7x∈ℤ , suy ra x∈3;4;5;6 .

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7).

Câu 10: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x2+2017≤2018x .

Lời giải:

x2+2017≤2018x⇔x2+2017≥0x≥0x2+2017≤2018x2

⇔x≥0x2−1≥0⇔x≥0x≤−1x≥1 ⇔x≥1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T=1;+∞.

3.2 Trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam thức fx=ax2+bx+c a≠0,Δ=b2−4ac. Ta có fx≤0 với ∀x∈ℝ khi và chỉ khi:

A. a<0Δ≤0 .

B. a≤0Δ<0 .

C. a<0Δ≥0 .

D. a>0Δ≤0 .

Lời giải:

Chọn A.

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: fx≤0 với ∀x∈ℝ khi và chỉ khi a<0Δ≤0 .

Câu 2: Cho hàm số y=fx=ax2+bx+c có đồ thị như hình vẽ. Đặt Δ=b2−4ac , tìm dấu của a và Δ .

A. a > 0, Δ>0 .

B. a < 0, Δ>0 .

C. a > 0, Δ=0 .

D. a < 0, Δ=0.

Lời giải:

Chọn A.

Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nên a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên Δ>0 .

Câu 3: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c   (a≠0) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu  Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ .

B. Nếu  Δ<0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ .

C. Nếu  Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ−b2a .

D. Nếu  Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi x∈ℝ .

Lời giải:

Chọn C. Theo định lý về dấu tam thức bậc hai

Câu 4: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2−8x+7≥0 . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

A. −∞;0 .

B. 6;+∞ .

C. 8;+∞ .

D. −∞;−1 .

Lời giải:

Chọn B.

Ta có x2−8x+7≥0⇔x≤1x≥7 .

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S=−∞;1∪7;+∞ .

Do đó 6;+∞⊄S .

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2+mx+4=0 có nghiệm

A. −4≤m≤4 .

B. m≤−4 hoặc m≥4 .

C. m≤−2 hoặc m≥2 .

D. −2≤m≤2 .

Lời giải:

Chọn B.

Phương trình x2+mx+4=0 có nghiệm ⇔Δ≥0⇔m2−16≥0⇔m≤−4  hoặc m≥4 .

Câu 6: Tam thức fx=x2+2m−1x+m2−3m+4 không âm với mọi giá trị của x khi

A. m<3 .

B. m≥3 .

C. m≤−3 .

D. m≤3 .

Lời giải:

Chọn D.

Yêu cầu bài toán ⇔fx≥0,∀x∈ℝ

⇔x2+2m−1x+m2−3m+4≥0,∀x∈ℝ

⇔Δ'=m−12−m2−3m+4≤0

⇔m−3≤0 ⇔m≤3 .

Vậy m≤3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x2−m+2x+8m+1≤0 vô nghiệm.

A. m∈0;28 .

B. m∈−∞;0∪28;+∞ .

C. m∈−∞;0∪28;+∞ .

D. m∈0;28 .

Lời giải:

Chọn D.

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi Δ=m+22−48m+1<0⇔m2−28m<0⇔0<m<28.

Câu 8: Bất phương trình −x2+6x−5>8−2x có nghiệm là:

A. −5<x≤−3 .

B. 3<x≤5 .

C. 2<x≤3 .

D. −3≤x≤−2 .

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: −x2+6x−5>8−2x⇔−x2+6x−5≥08−2x<08−2x≥0−x2+6x−5>8−2x2

⇔1≤x≤5x>4x≤43<x<235⇔3<x≤5 .

Vậy nghiệm của bất phương trình là 3<x≤5 .

Câu 9: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x2+1≤x+1 là:

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: 2x2+1≤x+1⇔x+1≥02x2+1≥02x2+1≤x+12

⇔x+1≥0x2−2x+1≤0⇔x+1≥0x−12≤0 ⇔x=1

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên.

Câu 10: Nghiệm của bất phương trình 3x−1x+2≤0 (1) là:

A. x≤13 .

B. −2<x<13 .

C. x≤13  x≠−2 .

D. −2<x≤13 .

Lời giải:

Chọn D.

Điều kiện xác định: x > -2.

1⇔3x−1≤0⇔x≤13 (do x+2>0 với mọi x > -2)

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là −2<x≤13 .

Bài tập bổ sung

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 3x2 − 2x − 12 ≤ 0.

Bài 2. Xét dấu biểu thức: f(x)= 2x2 − 8.

Bài 3. Giải bất phương trình x(x + 2) ≤ 3(x2 + 3).

Bài 4. Tìm m để biểu thức fx=2x2+m+2x+2m+5>0  ∀x∈ℝ.

Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn fx=−2x2+2x+m−20>0  ∀x∈ℝ.

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
• Bảng phân bố tần số, tần suất và cách giải
• Biểu đồ và cách giải bài tập
• Số trung bình cộng, Số trung vị, Mốt và cách giải
• Phương sai, độ lệch chuẩn và cách giải

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều