Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn Ôn tập Toán 9

Cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9 là tài liệu vô cùng hữu ích tổng hợp kiến thức lý thuyết, các cách chứng minh, ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết kèm theo tự luyện.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lớp 9 là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập đại số được thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

I. Định nghĩa GTLN, GTNN

- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

- Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:

f(x) ≤ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.

- Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:

f(x) ≥ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 đoạn.

Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a,b] .

• Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .
• Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a,b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a,b] làm cho f'(x) không xác định.
• Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).
• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M=max f(x), [a,b] ; m= min f(x), [a,b]

Lưu ý:

- Đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên khoảng, nửa đoạn làm tương tự.

- Trong trường hợp trên khoảng đó không tồn tại giá trị f’(x) = 0 hoặc không xác định thì kết luận không tìm được GTLN, GTNN trên khoảng đó.

Dạng 2. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số vào bài toán thực tế.

• Bước 1: Từ các điều kiện của bài toán xây dựng hàm số.
• Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa xây dựng trên tập xác định của nó phù hợp với yêu cầu bài toán.
• Bước 4: Kết luận.

III. Cách giải bài toán tìm gtln, gtnn lớp 9

1. Biến đổi biểu thức

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

(left[ {begin{array}{*{20}{c}} {GTNN:sqrt {{A^2} + m} geqslant sqrt m } {GTLN:sqrt {m - {A^2}} leqslant sqrt m } end{array};left( {m geqslant 0} right)} right.)

Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm

Phương pháp:

- Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra: (A = {A_1}^2 + k;left( {k > 0} right))

- Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra: (A =- {A_1}^2 - k;left( {k > 0} right))

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

(a + b geqslant 2sqrt {ab})

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

(left| a right| + left| b right| geqslant left| {a + b} right|)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích (a.b geqslant 0)

IV. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (A = frac{1}{{x - sqrt x + 1}})

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định x ≥ 0

Để A đạt giá trị lớn nhất thì (x - sqrt x + 1) đạt giá trị nhỏ nhất

Có (x - sqrt x + 1 = x - 2.frac{1}{2}.sqrt x + frac{1}{4} - frac{1}{4} + 1 = {left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4})

Lại có ({left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} ge 0forall x ge 0 Rightarrow {left( {sqrt x - frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ge frac{3}{4}forall x ge 0)

Dấu “=” xảy ra (Leftrightarrow sqrt x = frac{1}{2} Leftrightarrow x = frac{1}{4})

Min(x - sqrt x + 1 = frac{3}{4} Leftrightarrow x = frac{1}{4})

Vậy Max(A = frac{4}{3} Leftrightarrow x = frac{1}{4})

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a. (E = frac{1}{{sqrt x + 1}})

b. (D = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}})

Gợi ý đáp án

a. Điều kiện xác định (x geqslant 0)

Do (sqrt x geqslant 0 Rightarrow sqrt x + 1 geqslant 1 Rightarrow frac{1}{{sqrt x + 1}} leqslant 1 Rightarrow max A = 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b. Điều kiện xác định (x geqslant 0)

(D = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}} = 1 + frac{1}{{sqrt x + 2}})

Do (sqrt x geqslant 0 Rightarrow sqrt x + 2 geqslant 2 Rightarrow frac{1}{{sqrt x + 2}} leqslant frac{1}{2} Rightarrow max A = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: (Q = {x^2}sqrt {9 - {x^2}})

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định: (x in left[ { - 3;3} right])

Ta có:

(begin{matrix} {Q^2} = {x^4}left( {9 - {x^2}} right) hfill {Q^2} = 4.dfrac{{{x^2}}}{2}.dfrac{{{x^2}}}{2}left( {9 - {x^2}} right) hfill end{matrix})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(begin{matrix} {Q^2} leqslant 4.dfrac{{{{left( {dfrac{{{x^2}}}{2} + dfrac{{{x^2}}}{2} + left( {9 - {x^2}} right)} right)}^3}}}{{27}} = 4.27 hfill Rightarrow Q leqslant 6sqrt 3 hfill Rightarrow max Q = 6sqrt 3 hfill end{matrix})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x = pm sqrt 6)

Bài 4: Cho biểu thức (A = left( {frac{1}{{x - sqrt x }} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}})

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (P = A - 9sqrt x)

Gợi ý đáp án

Cách 1

a, (A = left( {frac{1}{{x - sqrt x }} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}) với x > 0, x ≠ 1

(= left( {frac{1}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}} + frac{1}{{sqrt x - 1}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}})

(= frac{{1 + sqrt x }}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}}.frac{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}{{sqrt x + 1}} = frac{{{{left( {sqrt x - 1} right)}^2}}}{{sqrt x left( {sqrt x - 1} right)}} = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }})

b,(P = A - 9sqrt x = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }} - 9sqrt x = 1 - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right)) với x > 0, x ≠ 1

Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: (frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x ge 2.sqrt {frac{1}{{sqrt x }}.9sqrt x } = 6)

(Rightarrow - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right) le - 6 Rightarrow 1 - left( {frac{1}{{sqrt x }} + 9sqrt x } right) le 1 - 6 = - 5 Leftrightarrow P le - 5)

Dấu “=” xảy ra (Leftrightarrow frac{1}{{sqrt x }} = 9sqrt x Leftrightarrow x = frac{1}{9})(thỏa mãn)

Vậy max(P = - 5 Leftrightarrow x = frac{1}{9})

Cách 2: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

(P = A - 9sqrt x = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }} - 9sqrt x = 1 - frac{1}{{sqrt x }} - 9sqrt x = 1 - left( {9sqrt x + frac{1}{{sqrt x }}} right))

Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:

(9sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} geqslant 2sqrt {9sqrt x .frac{1}{{sqrt x }}} Leftrightarrow 9sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} geqslant 6)

Như vậy P ≤ -5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (9sqrt x = frac{1}{{sqrt x }}) hay x = 1/9

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Cách 3: Dùng miền giá trị để đánh giá

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

(P = A - 9sqrt x = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x }} - 9sqrt x = 1 - frac{1}{{sqrt x }} - 9sqrt x) (P < 1)

(begin{matrix} Leftrightarrow Psqrt x = sqrt x - 1 - 9x hfill Leftrightarrow 9x + left( {P - 1} right)sqrt x + 1 = 0 hfill Leftrightarrow 9{left( {sqrt x } right)^2} + left( {P - 1} right)sqrt x + 1 = 0left( * right) hfill end{matrix})

Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:

∆ = (P - 1)2 - 36 ≥ 0 ⇔ (P - 1)2 ≥ 36 ⇔ P - 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5

Như vậy P ≤ -5 khi (sqrt x = frac{{ - left( {P - 1} right)}}{{2.9}} = frac{{ - left( { - 5 - 1} right)}}{{2.9}} = frac{1}{3} Rightarrow x = frac{1}{9})

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

Bài 5: Cho biểu thức (A = left( {frac{{sqrt x }}{{2 - sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{2 + sqrt x }}} right) - frac{{6 + sqrt x }}{{4 - x}})với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Gợi ý đáp án

a, (A = left( {frac{{sqrt x }}{{2 - sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{2 + sqrt x }}} right) - frac{{6 + sqrt x }}{{4 - x}})với x ≥ 0, x ≠ 4

(= frac{{sqrt x left( {2 + sqrt x } right) + sqrt x left( {2 - sqrt x } right)}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} - frac{{6 + sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}})

(= frac{{2sqrt x + x + 2sqrt x - x}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} - frac{{6 + sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}})

(= frac{{4sqrt x - 6 - sqrt x }}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} = frac{{3sqrt x - 6}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}})

(= frac{{3.left( {sqrt x - 2} right)}}{{left( {2 + sqrt x } right)left( {2 - sqrt x } right)}} = frac{{ - 3}}{{2 + sqrt x }})

b, Có (x ge 0 Rightarrow sqrt x ge 0 Rightarrow sqrt x + 2 ge 2 Rightarrow frac{3}{{sqrt x + 2}} le frac{3}{2} Rightarrow frac{{ - 3}}{{sqrt x + 2}} ge frac{{ - 3}}{2})

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min(A = frac{{ - 3}}{2} Leftrightarrow x = 0)

Bài 6.

Cho hai số thực a,b # 0 thỏa mãn(2{a^2} + dfrac{{{b^2}}}{4} + dfrac{1}{{{a^2}}} = 4) . Tìm GTLN, GTNN của (S = ab + 2017)

Gợi ý đáp án

Ta giả thiết ta có:

(begin{array}{l} 4 = left( {{a^2} + dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} right) + left( {{a^2} + dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} right) + ab + 2 = {left( {a - frac{1}{a}} right)^2} + {left( {a - dfrac{b}{2}} right)^2} + ab + 2 Rightarrow ab + 2 le 4 Rightarrow ab + 2017 le 2019 Rightarrow S le 2019 end{array}$)

Mặt khác

(begin{array}{l} 4 = left( {{a^2} + dfrac{1}{{{a^2}}} - 2} right) + left( {{a^2} + dfrac{{{b^2}}}{4} - ab} right) - ab + 2 = {left( {a - dfrac{1}{a}} right)^2} + {left( {a - dfrac{b}{2}} right)^2} - ab + 2 Rightarrow - ab + 2 le 4 Rightarrow ab ge 2 Rightarrow ab + 2017 ge 2015 Rightarrow S ge 2015 end{array})

Bài 7

Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn ({x^2} + dfrac{8}{{{x^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{8} = 8) . Tìm min, max của A= xy+2024

Gợi ý đáp án

Từ giả thiết ta có:

(begin{array}{l} 8 = {x^2} + dfrac{8}{{{x^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{8} Rightarrow 16 = 2{x^2} + dfrac{{16}}{{{x^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{4} = left( {{x^2} + dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} right) + left( {{x^2} + xy + dfrac{{{y^2}}}{4}} right) - xy + 8 Rightarrow 8 = {left( {x - dfrac{4}{x}} right)^2} + {left( {x + dfrac{y}{2}} right)^2} - xy + 8 le 16 Rightarrow xy ge - 8 Rightarrow A = xy + 2024 ge 2016 end{array})

Mặt khác

(begin{array}{l} 16 = left( {{x^2} + dfrac{{16}}{{{x^2}}} - 8} right) + left( {{x^2} + xy + dfrac{{{y^2}}}{4}} right) + xy + 8 = {left( {x - dfrac{4}{x}} right)^2} + {left( {x + dfrac{y}{2}} right)^2} + xy - 8 Rightarrow xy - 8 le 16 Rightarrow xy le 8 Rightarrow S = xy + 2024 le 2032 end{array})

Bài 8

Cho x, y khác 0 biết (8{x^2} + {y^2} + dfrac{1}{{4{x^2}}} = 4) . Tìm x,y để B=xy đạt GTLN, GTNN

Hướng dẫn giải

Ta có

(begin{array}{l} 4 = 8{x^2} + {y^2} + dfrac{1}{{4{x^2}}} = left( {4{x^2} - 2 + dfrac{1}{{4{x^2}}}} right) + left( {4{x^2} + {y^2} - 4xy} right) + 4xy + 2 4 = {left( {2x - dfrac{1}{{2x}}} right)^2} + {left( {2x - y} right)^2} + 4xy + 2 Rightarrow 4xy + 2 le 4 Rightarrow B = xy le dfrac{1}{2} end{array})

Mặt khác

(4 = {left( {2x - dfrac{1}{{2x}}} right)^2} + {left( {2x + y} right)^2} - 4xy + 2 Rightarrow - 4xy + 2 le 4 Rightarrow B = xy ge - dfrac{1}{2})

V. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

a. (sqrt {x - 4} - 2)

b. (x - sqrt x)

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. (A = sqrt 3 - sqrt {x - 1})

b. (B = 6sqrt x - x - 1)

c. (C = frac{1}{{x - sqrt x - 1}})

Bài 3: Cho biểu thức:

(A = frac{{4left( {sqrt x + 1} right)}}{{25 - x}};B = left( {frac{{15 - sqrt x }}{{x - 25}} + frac{2}{{sqrt x + 5}}} right):frac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x - 5}};left( {x geqslant 0;x ne 25} right))

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: (A = frac{{5sqrt x - 3}}{{x + sqrt x + 1}}). Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho biểu thức:

(A = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} + frac{{sqrt x }}{{x - 1}}} right):frac{{2sqrt x + 1}}{{sqrt x + x + 2}};left( {x geqslant 0;x ne 1} right))

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức:

(B = frac{{{x^2} + sqrt x }}{{x - sqrt x + 1}} - frac{{2x + sqrt x }}{{sqrt x }} + 1;left( {x > 0} right))

a. Rút gọn B

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

Bài 7: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a, (A = frac{1}{{sqrt x + 1}}) b, (B = frac{{sqrt x + 3}}{{sqrt x + 2}}) c, (C = frac{{2sqrt x }}{{x + 1}}) d, (D = frac{{sqrt x }}{{x + 4}}) e, (E = frac{{2sqrt x }}{{{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}}})

Bài 8: Cho biểu thức (A = left( {frac{1}{{sqrt x - 1}} + frac{{sqrt x }}{{x - 1}}} right):frac{{2sqrt x + 1}}{{x + sqrt x - 2}})

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 9: Cho biểu thức (A = left( {frac{1}{{sqrt x }} + frac{{sqrt x }}{{sqrt x + 1}}} right):frac{{sqrt x }}{{x + sqrt x }})

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 10: Cho biểu thức (M = frac{{{a^2} + sqrt a }}{{a - sqrt a + 1}} - frac{{2a + sqrt a }}{{sqrt a }} + 1)

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M

Bài 12. Cho x,y khác 0 thỏa mãn (2{x^2} + dfrac{{{y^2}}}{4} + dfrac{1}{{{x^2}}} = 4). Tìm GTLN, GTNN của A= xy

Bài 13. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn (2{x^2} + dfrac{{{y^2}}}{4} + dfrac{1}{{{x^2}}} = 4) . Tìm GTLN, GTNN của A= xy

3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của (A = left( {4{x^2} + 3y} right)left( {4{y^2} + 3x} right) + 25xy)

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a, (A = frac{{ - 3}}{{sqrt x + 2}}) với x ≥ 0 b, (B = frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}}) với x ≥ 0 c, (C = frac{{x + 4}}{{sqrt x }}) với x > 0 d, (D = frac{{x + sqrt x + 1}}{{sqrt x }}) với x > 0

Bài 15: Cho biểu thức (M=frac{x+sqrt{x}+4}{sqrt{x}-2}) và (N=frac{3x-sqrt{x}-2}{x-2sqrt{x}}-frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}+frac{sqrt{x}-1}{2-sqrt{x}}) với x > 0 và x ≠ 4

a) Chứng minh (N=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-2})

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của (P=frac{M}{N}).

Bài 16: Cho biểu thức (T=frac{x^2-sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1}-frac{2x+sqrt{x}}{sqrt{x}}+frac{2left(x-1right)}{sqrt{x}-1})

a) Rút gọn biểu thức T

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của T.