Toán học phổ thông – SGK Trần Thanh Phong : "Học Cái mới – sửa cái sai – Phát huy cái biết"

Bài 9

-o0o-

Định nghĩa :

Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.

Định lí :

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm này gọi là trực tâm.

Tính chất :

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung , đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

===============================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 59 TRANG 83 : Cho hình 57 :

1. Chứng minh : NS ML
2. Khi . tính ;

GIẢI.

A/ Chứng minh : NS ML

Xét ΔMNL, TA CÓ :

LP MN (gt) => LP là đường cao thứ nhất.

MQ LN (gt) => MQ là đường cao thứ hai.

LP cắt MQ tại S.

=> S là trực tâm của ΔMNL

=> NS là đường cao thứ ba.

=> NS ML

b/ tính ;

Xét tam giác MNQ, ta có :

=>

Xét tam giác MSP, ta có :

=>

Mà :

=>

———————————————————————————————————-

BÀI 78 TRANG 32 SBT :

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao CH cắt tia phân giác góc A tại D. chứng minh BD vuông góc AC.

GIẢI.

XÉT tam giác ABC cân tại A, Có :

AE là tia phân giác (gt)

=> AE đường cao thứ nhất.

CH đường cao thứ hai (gt) .

AE cắt CH tại D.

=> D là trực tâm.

=> BD là đường cao thứ ba.

=> BD vuông góc AC.

BÀI tổng ôn :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.

a) Chứng minh : BC = DE.

b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.

c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.

d) Chứng minh : AM = DE/2.

GIẢI.

a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :

(đối đỉnh)

AB = AD (gt)

AC = AD (gt)

=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Xét Δ ABD, ta có :

(Δ ABC vuông tại A)

=> AD AE

=>

=> Δ ABD vuông tại A.

mà : AB = AD (gt)

=> Δ ABD vuông cân tại A.

=>

cmtt :

=>

mà : ở vị trí so le trong

=> BD // CE

b) Xét Δ MNC, ta có :

NK MC = > NK là đường cao thứ 1.

MH NC = > MH là đường cao thứ 2.

NK cắt MH tại A.

=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.

=> MN AC tại I.

mà : AB AC

=> MN // AB.

c) Xét Δ AMC, ta có :

(đối đỉnh)

(Δ ABC = Δ AED)

=> (cùng phụ góc ABC)

=> Δ AMC cân tại M

=> AM = ME (1)

Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :

(MN AC tại I)

IM cạnh chung.

mặt khác : (so le trong)

(đồng vị)

mà : (cmt)

=>

=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn - cạnh góc vuông)

=> MA = MD (2)

từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD

ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)

=>MA = DE/2.

===============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

Cho ΔABC đều có cạnh 10cm. Từ A dựng tia Ay vuông góc với AB cắt BC tại M.

a/ Chứng minh: ΔACM cân.

b/ Kẻ AH BC ( H BC), lấy điểm I AH. Biết AB < AM, chứng minh: IB < IM

c/ Kẻ CN AM (N AM), nối HN. Chứng minh: ΔAHN đều

d/ Tính độ dài đoạn thẳng HN.

BÀI 2 :

Cho Δ ABC vuơng tại A và góc C = 300.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA . a/ Chứng minh : ΔABD đều , tính góc DAC . b/ Vẽ DEAC (EAC). Chứng minh : ΔADE = ΔCDE . c/ Cho AB = 5cm , .Tính BC và AC. d/ Vẽ AHBC (HBC). Chứng minh :AH + BC > AB +AC

BÀI 3 :

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD cân tại B, ACE cân tại C. từ C vẽ đường thẳng vuông góc BE cắt đường thẳng AH tại F. chứng minh :

1. AF = BC.
2. ΔABF = ΔBDC.
3. AH, BE, CD đồng quy.

BÀI 4 :

Cho tam giác AHC vuông tại H.gọi M, N là trung điểm AH, HC.trên tia đối tia NM lấy điểm D sao cho ND = NM. Chứng minh :

1. Tam giác NCD vuông tại D.
2. AMC = DCM.
3. từ A vẽ đường thẳng vuông góc AC cắt đường thẳng CH tại B. chứng minh BM vuông góc AN.

======================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ đường cao AH, lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của của HD, lấy điểm E sao cho AC là đường trung trực của của HE. Chứng minh rằng :

1. D, E, A thẳng hàng.
2. Tam giác DHE vuông.
3. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh MA là đường trung trực của của DE.

BÀI 2 :

=============================================

ĐỀ THI :

Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II năm 2008 - 2009 Quận 5 tp.HCM

Môn toán lớp 7 (90 phút)

Bài 1 (1,5 đ) :

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 1; y = -1

3/4 xy5 +1/2 xy5 - 1/4 xy5

b) Tính tích của các đơn thức sau rồi tính bậc của đơn thức thu được :

-2x3y4 và 1/2 x2y

Bài 2 (2 đ) :Cho hai đa thức :

P(x) = x5 + 3x2 - 2x4 - x2

Q(x) = -3x4 + x5 - x2 + x + 3x2

a) Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x).

Bài 3 (1 đ) :

Cho hai đa thức M(x) = x2 - 5x + 6. Chứng tỏ x = 2; x = 3 là hai nghiệm của đa thức đó.

Bài 4 (2 đ) :kết quả điều tra số con của 30 gia đình ở một tổ dân phố được ghi nhu sau :

Hãy lập bảng tần số và tính số trung bình cộng.

Bài 5 (3 đ) :

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến.

a) Chứng minh : ΔAMB = ΔAMC. Suy ra góc AMB = 900.

b) Cho AB = 15cm, BC = 18cm. tính AM.

c) Gọi I là điểm nằm trong tam giác ABC và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.