Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

1. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

- Trường hợp 1: cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét ∆ABC và ∆DFE có:

AB = DF (gt)

AC = DE (gt)

BC = FE (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c-c-c)

(Các cặp góc tương ứng)

- Trường hợp 2: cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét ∆ABC và ∆DFE có:

AB = DF (gt)

(gt)

BC = FE (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c-g-c)

( Các cặp góc tương ứng)

(Cạnh tương ứng)

- Trường hợp 3: góc - cạnh - góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề tương ứng của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét ∆ABC và ∆DFE có:

(gt)

AB = DF(gt)

(gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (g-c-g)

( Góc tương ứng)

(Các cặp cạnh tương ứng)

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

- Trường hợp 1: cạnh góc vuông - cạnh góc vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Trường hợp 2: cạnh góc vuông - góc nhọn: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn tương ứng của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

- Trường hợp 3: cạnh huyền - góc nhọn: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

3. Ứng dụng

Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để:

• Chứng minh: hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; …
• Tính: các độ dài đoạn thẳng; tính số đo góc; tính chu vi; diện tích; …
• So sánh: các độ dài đoạn thẳng; so sánh các góc; …

4. Ví dụ minh họa

Bài toán 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC.

Chứng minh: ∆NMB = ∆ NMC.

Hướng dẫn giải :

Xét ∆NMB và ∆ NMC có:

MB = MC (do M là trung điểm BC)

NB = NC (gt)

Chung cạnh MN

Suy ra ∆NMB = ∆ NMC (c-c-c) (đpcm)

Bài toán 2: Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.

Chứng minh AC // BE.

Xét ΔAMC và ΔEMB có

(gt)

(đối đỉnh)

( M là trung điểm BC)

Suy ra ΔAMC = ΔEMB (c-g-c)

(Góc tương ứng)

Mà hai góc này là hai góc so le trong suy ra AC // BE (Đpcm)