Giải bài 10 Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Hoạt động 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diến số 1 và đặt $overrightarrow{OA}=overrightarrow{i}$ (H4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số $frac{-3}{2}$. Hãy biểu thị mỗi vecto $overrightarrow{OM}=overrightarrow{ON}$ theo vecto $overrightarrow{i}$.

Hướng dẫn giải:

• $overrightarrow{OM}=4overrightarrow{i}$
• $overrightarrow{ON}=frac{-3}{2}overrightarrow{i}$

Hoạt động 2: Trong Hình 4.33:

a. Hãy biểu thị mỗi vecto $overrightarrow{OM},overrightarrow{ON}$ theo các vecto $overrightarrow{i};overrightarrow{j}$.

b. Hãy biểu thị vecto $overrightarrow{MN}$ theo các vecto $overrightarrow{OM},overrightarrow{ON}$, từ đó biểu thị vecto $overrightarrow{MN}$ theo các vecto $overrightarrow{i};overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có:

• $overrightarrow{OM} = overrightarrow{OH}+ overrightarrow{OK} $

= $3overrightarrow{i} + 5overrightarrow{j}$.

• $overrightarrow{ON} = overrightarrow{OP}+ overrightarrow{OQ} $

= $-2overrightarrow{i} + frac{5}{2}overrightarrow{j}$.

b. $overrightarrow{MN} = overrightarrow{ON}+ overrightarrow{OM} $

= $-2overrightarrow{i} + frac{5}{2}overrightarrow{j}$ - ($3overrightarrow{i} + 5overrightarrow{j}$)

= $-5overrightarrow{i} + frac{-5}{2}overrightarrow{j}$

Luyện tập 1: Tìm tọa độ của $overrightarrow{0} $

Hướng dẫn giải:

$overrightarrow{0} $ có tọa độ là (0; 0).

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Hoạt động 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $overrightarrow{u}$= (2; -3), $overrightarrow{v} $ = (4;1), $overrightarrow{a} $ = (8;-12).

a. Hãy biểu thị mỗi vecto $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$, $overrightarrow{a}$ theo các vecto $overrightarrow{i}$, $overrightarrow{j}$.

b. Tìm tọa độ của các vecto $overrightarrow{u} + overrightarrow{v}$, $overrightarrow{4u}$.

c. Tìm mối liên hệ giữa hai vecto $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{a}$.

Hướng dẫn giải:

a.

• $overrightarrow{u}$ = $2overrightarrow{i} + (-3)overrightarrow{j}$
• $overrightarrow{v}$ = $4overrightarrow{i} + 1overrightarrow{j}$.
• $overrightarrow{a}$ = $8overrightarrow{i} + (-12)overrightarrow{j}$

b.

• $overrightarrow{u} + overrightarrow{v}$ = $6overrightarrow{i} + (-2)overrightarrow{j}$ nên có tọa độ là (6; -2).
• $overrightarrow{4u}$ = $8overrightarrow{i} + (-12)overrightarrow{j}$ nên có tọa độ là (8; -12)

c. $overrightarrow{4u}$=$overrightarrow{a}$.

Hoạt động 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(xo; yo). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy.

a. Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $overrightarrow{OP}$ theo $overrightarrow{i}$ và tính độ dài của $overrightarrow{OP}$ theo xo.

b. Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $overrightarrow{OQ}$ theo $overrightarrow{j}$ và tính độ dài của $overrightarrow{OQ}$ theo yo.

c. Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $overrightarrow{OM}$ theo xo; yo.

d. Biểu thị $overrightarrow{OM}$ theo các vecto $overrightarrow{i};overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải:

a. Điểm P biểu diễn số xo.

$overrightarrow{OP}$ = $x_{o}overrightarrow{i} $

$|overrightarrow{OP}|$ = |xo |

b. Điểm Q biểu diễn số yo.

$overrightarrow{OQ}$ = $y_{o}overrightarrow{j} $

$|overrightarrow{OQ}|$ = |yo |

c. $|overrightarrow{OM}|$ = $sqrt{OP^{2}+MP^{2}}$= $sqrt{OP^{2}+MP^{2}}$=$sqrt{x_{o}^{2}+y_{o}^{2}}$

d. $overrightarrow{OM}$ = $x_{o}overrightarrow{i} + y_{o}overrightarrow{j}$.

Hoạt động 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').

a. Tìm tọa độ của các vecto $overrightarrow{OM}, overrightarrow{ON}$

b. Biểu thị vecto $overrightarrow{MN}$ theo các vecto$overrightarrow{OM}, overrightarrow{ON}$ và tìm tọa độ của $overrightarrow{MN}$ .

c. Tìm độ dài của vecto $overrightarrow{MN}$.

Hướng dẫn giải:

a. $overrightarrow{OM}(x;y)$; $overrightarrow{ON}(x';y')$

b. $overrightarrow{MN}$= $overrightarrow{ON} - overrightarrow{OM}$

=> $overrightarrow{MN}(x'-x;y'-y)$

c. $|overrightarrow{MN}|$ = $sqrt{(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}}$.

Luyện tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1). B(3; 3).

a. Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b. Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

a. Xét vecto: $overrightarrow{OA}(2;1)$ và $overrightarrow{OB}(3;3)$ không cùng phương vì $frac{2}{3}neq frac{1}{3}$. Do đó các điểm O, A, B không thẳng hàng.

b. OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $overrightarrow{OA}$ = $overrightarrow{MB}$.

Ta có: $overrightarrow{OA}(2;1)$ và $overrightarrow{MB}(3-x;3-y)$

$overrightarrow{OA}$ = $overrightarrow{MB}$ $Leftrightarrow left{begin{matrix}3-x=2 3-y=1end{matrix}right.$

$Leftrightarrow x=1; y=2$

Vậy điểm cần tìm là M(1; 2).

Vận dụng: Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Hướng dẫn giải:

Gọi điểm A(13,8; 108,3), B(14,2; 106,3) và điểm M(x; y).

Vì trong 12 giờ tâm bão đi từ A đến B và M là vị trí của tâm bão lúc 9 giờ nên ta có mỗi quan hệ của AM và AB là: AM = $frac{9}{12}=frac{3}{4}$AB

=> $overrightarrow{AM}=frac{3}{4}overrightarrow{AB}$

Ta có: $overrightarrow{AM}(x-13,8; y-108,3)$ và $overrightarrow{AB}(0,3; -2$

$overrightarrow{AM}=frac{3}{4}overrightarrow{AB}$

$Leftrightarrow left{begin{matrix}x-13,8=frac{3}{4}.0,3 y-108,3=frac{3}{4}.(-2)end{matrix}right.$

$Leftrightarrow x = 14,025; y= 106,8$.

Vậy M(14,025; 106,8)